【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線過原點O,點A(10,0)和點B(2,2),在線段OA上,點P從點O向點A運動,同時點Q從點A向點O運動,運動過程中保持AQ=2OP,當P、Q重合時同時停止運動,過點Qx軸的垂線,交直線AB于點M,延長QM到點D,使MD=MQ,以QD為對角線作正方形QCDE(正方形QCDE隨點Q運動).

(1)求這條拋物線的函數(shù)表達式;

(2)設正方形QCDE的面積為S,P點坐標(m,0)求Sm之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)過點Px軸的垂線,交拋物線于點N,延長PN到點G,使NG=PN,以PG為對角線作正方形PFGH(正方形PFGH隨點P運動),當點P運動到點(2,0)時,如圖2,正方形PFGH的邊GF和正方形QCDE的邊EQ落在同一條直線上.

①則此時兩個正方形中在直線AB下方的陰影部分面積的和是多少?

②若點P繼續(xù)向點A運動,還存在兩個正方形分別有邊落在同一條直線上的情況,請直接寫出每種情況下點P的坐標,不必說明理由.

【答案】(1)拋物線解析式為;(2);(3)①5 P1(2.5,0),P2(9-,0),P3,0).

【解析】

(1)由拋物線過原點和點A(10,0)設其解析式為,代入點B的坐標(2,2)解得a的值即可得到拋物線的解析式;

(2)由已知條件求出直線AB的解析式,由點P的坐標為(m,0)結(jié)合已知條件可得OQ=10-2m,由此即可用含m的式子表達出DQ的長度,這樣由四邊形ACDE是正方形即可由S=DQ2求出Sm之間的函數(shù)關(guān)系式了;

(3)①x=2代入拋物線解析式得y=2,可知點N的坐標為(2,2),G的坐標為(2,4),當GFEQ落在同一條直線上時,△FGQ為等腰直角三角形,則PQ=PG=4,OQ=OP+PQ=6,x=6代入直線AB解析式可求得得點M的坐標為(6,1),即QM=1,由旋轉(zhuǎn)法可知,每一個陰影部分面積等所在正方形面積的一半,由此可求兩個陰影部分面積和;分為PF、DE在同一直線上;PF、CQ在同一直線上;GF、CD在同一直線上三種情況分析計算求出相應的P點的坐標即可.

1)∵拋物線過O(0,0),A(10,0),

∴設拋物線解析式為,

B(2,2)代入,得,解得,

∴拋物線解析式為,

即 :;

(2)設直線AB的解析式為:,將A(10,0),B(2,2)代入,得,解得,

P(m,0),

OP=m,AQ=2m,OQ=10-2m,

∴當x=10-2m時,QM=,

QD=m,

∵四邊形QCDE是正方形,

;

3P的坐標為(2,0),

∴將x=2代入拋物線解析式可得點N的坐標為(2,2),

由正方形的性質(zhì)可得點G的坐標為:(2,4),

PG=4,

又∵當GFEQ落在同一條直線上時,△PGQ為等腰直角三角形,

∴PQ=PG=4,OQ=OP+PQ=6,代入直線AB解析式 可得點M的坐標為:(6,1),即QM=1,QD=2,

∴陰影部分面積和=×(PG2+QD2)=5;

若點P繼續(xù)向點A運動,則當兩個正方形分別有邊落在同一條直線上時,點P的坐標如下:

P1(2.5,0),P2,0),P3(9-,0).

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