Question

【題目】如圖，如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），將線段AB平移至線段CD，使點A的對應點C在x軸的正半軸上，點D在第一象限．

（1）若點C的坐標（k，0），求點D的坐標（用含k的式子表示）；

（2）連接BD、BC，若三角形BCD的面積為5，求k的值；

（3）如圖2，分別作∠ABC和∠ADC的平分線，它們交于點P，請寫出∠A、和∠P和∠BCD之間的一個等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（k+2，2）；（2）k＝2；（3）∠BPD＝∠BCD+∠A，理由詳見解析

【解析】

（1）由平移的性質可得出答案；

（2）過點B作BE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，由四邊形BEFD的面積可得出答案；

（3）過點P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性質得出AB∥CD，由平行線的性質得出PE∥CD，則∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分線的性質得出∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC，即可得出結論．

解：（1）∵點A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），將線段AB平移至線段CD，

∴點B向上平移一個單位，向右平移（k+4）個單位到點D，

∴D（k+2，2）；

（2）如圖1，過點B作BE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，

∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），

∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，

∵S四邊形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，

∴＝，

解得：k＝2．

（3）∠BPD＝∠BCD+∠A；理由如下：

過點P作PE∥AB，如圖2所示：

∴∠PBA＝∠EPB，

∵線段AB平移至線段CD，

∴AB∥CD，

∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，

∴∠EPD＝∠PDC，

∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，

∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，

∴∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC，

∴∠BPD＝∠ABC+∠ADC＝∠BCD+∠A．