【題目】已知,等邊三角形ABC的邊長為5,點P在線段AB上,點D在線段BC上,且△PDE是等邊三角形.
(1)初步嘗試:若點P與點A重合時(如圖1),BD+BE= .
(2)類比探究:將點P沿AB方向移動,使AP=1,其余條件不變(如圖2),試計算BD+BE的值是多少?
(3)拓展遷移:如圖3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=70°,點P在線段AB的延長線上,點D在線段CB的延長線上,在△PDE中,PD=PE,∠DPE=70°,設(shè)BP=a,請直接寫出線段BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示)
【答案】
(1)5
(2)解:如圖2,過點P作PF∥AC交BC于F,
∴△FPB是等邊三角形,
∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4,∠BPF=60°,
∵△PDE是等邊三角形,
∴PD=PE,∠DPE=60°,
∴∠BPE=∠FPD,
∴△PBE≌△PFD,
∴BE=DF,
∴BD+BE=BD+DF=BF=4;
(3)解:如圖3,
過點P作PF∥AC交BC于F,
∴∠BPF=∠BAC=70°,∠PFB=∠C,
∵AB=AC,∠BAC=70°,
∴∠ABC=∠C=55°,
∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°,
∴PF=PB=a,
∵∠BPF=∠DPE=70°,
∴∠DPF=∠EPB,
∵PD=PE,
∴△PBE≌△PFD,
∴BE=DF,
過點P作PG⊥BC于G,
∴BF=2BG,
在Rt△BPG中,∠PBD=55°,
∴BG=BPcos∠PBD=acos55°,
∴BF=2BG=2acos55°,
∴BD﹣BE=BD﹣DF=BF=2acos55°.
【解析】解:(1)∵△ABC和△PDE是等邊三角形,
∴PE=PD,AB=AC,∠DPE=∠CAB=60°,
∴∠BPE=∠CAD,
∴△PBE≌△ACD,
∴BE=CD,
∴BD+BE=BD+CD=BC=5,
所以答案是5;
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等,以及對等邊三角形的性質(zhì)的理解,了解等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角△ABC的斜邊上取異于B,C的兩點E,F,使∠EAF=45°,求證:以EF,BE,CF為邊的三角形是直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為(1, ),現(xiàn)將等腰直角三角板直角頂點放在原點O,一個銳角頂點A在此二次函數(shù)的圖象上,而另一個銳角頂點B在第二象限,且點A的坐標(biāo)為(2,1).
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)判斷點B是否在此二次函數(shù)的圖象上,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)同一種零件,在10天中兩臺機床每天生產(chǎn)的次品數(shù)如下:
甲:0,1,0,2,2,0,3,1,2,4;
乙:2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.
(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差;
(2)從結(jié)果看,在10天中哪臺機床出現(xiàn)次品的波動較小?
(3)由此推測哪臺機床的性能較好
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高中學(xué)校為使高一新生入校后及時穿上合身的校服,現(xiàn)提前對某校九年級(3)班學(xué)生即將所穿校服型號情況進行了摸底調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖兩個不完整的統(tǒng)計圖(校服型號以身高作為標(biāo)準(zhǔn),共分為6種型號).
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)該班共有多少名學(xué)生?其中穿175型校服的學(xué)生有多少人?
(2)在條形統(tǒng)計圖中,請把空缺的部分補充完整;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,請計算185型校服所對應(yīng)扇形圓心角的大小;
(4)求該班學(xué)生所穿校服型號的眾數(shù)和中位數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解黔東南州某縣2016屆中考學(xué)生的體育考試得分情況,從該縣參加體育考試的4 000名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生的體育考試成績作樣本分析,得出如下不完整的頻數(shù)統(tǒng)計表和頻數(shù)直方圖.
成績分組 | 頻數(shù) |
25≤x<30 | 4 |
30≤x<35 | m |
35≤x<40 | 24 |
40≤x<45 | 36 |
45≤x<50 | n |
50≤x<55 | 4 |
(1)求m,n的值,并補全頻數(shù)直方圖;
(2)若體育得分在40分以上(包括40分)為優(yōu)秀,請問該縣中考體育成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約為多少?
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【題目】完成下面的證明
如圖,點E在直線DF上,點B在直線AC上,若,.
求證:.
證明:
______對頂角相等
,
______
____________
又
,
____________
______
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC、△ADE均為是頂角為42的等腰三角形,BC和DE分別是底邊,圖中△_________與△___________,可以通過以點________為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)角度為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,AD=8,點E,F(xiàn)分別是邊BC,AD的中點,點M是AE與BF的交點,點N是CF與DE的交點,則四邊形ENFM的周長是______.
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