Question

【題目】△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，以D為頂點作∠MDN=∠B,

（1）如圖（1）當射線DN經過點A時，DM交AC邊于點E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．

（2）如圖（2），將∠MDN繞點D沿逆時針方向旋轉，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F點（點E與點A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論．

（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當△DEF的面積等于△ABC的面積的時，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，證明見解析；（3）5.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．

（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性質得出，從而得出△BDF∽△CED∽△DEF．

（3）利用△DEF的面積等于△ABC的面積的，求出DH的長，從而利用S△DEF的值求出EF即可

解：（1）圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，證明如下：

∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，

∴∠BFD=∠CDE．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∴△BDF∽△CED．

∴．

∵BD=CD，

∴，即．

又∵∠C=∠EDF，

∴△CED∽△DEF．

∴△BDF∽△CED∽△DEF．

（3）連接AD，過D點作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H．

∵AB=AC，D是BC的中點，

∴AD⊥BC，BD=BC=6．

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，

∴AD=8．

∴S△ABC=BCAD=×12×8=48，

S△DEF=S△ABC=×48=12．

又∵ADBD=ABDH，

∴．

∵△BDF∽△DEF，

∴∠DFB=∠EFD．

∵DH⊥BF，DG⊥EF，

∴∠DHF=∠DGF．

又∵DF=DF，

∴△DHF≌△DGF（AAS）．

∴DH=DG=．

∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=12，

∴EF=5．