Question

【題目】閱讀下列材料，完成任務(wù)：

自相似圖形，定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與它相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形．例如：正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，連接EG，HF交于點(diǎn)O，易知分割成的四個(gè)四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形，且與原正方形相似，故正方形是自相似圖形．

（1）圖1中正方形ABCD分割成的四個(gè)小正方形中，每個(gè)正方形與原正方形的相似比為______；

（2）如圖2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，小明發(fā)現(xiàn)△ABC也是“自相似圖形”，他的思路是：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD將△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形．則△ACD與△ABC的相似比為_____；則△BCD與△ABC的相似比為_____；

（3）現(xiàn)有一個(gè)矩形ABCD是自相似圖形，其中長(zhǎng)AD＝a，寬AB＝b（a＞b）．

①如圖3﹣1，若將矩形ABCD縱向分割成兩個(gè)全等矩形，且與原矩形都相似，則a＝_____（用含b的式子表示）：

②如圖3﹣2，若將矩形ABCD縱向分割成n個(gè)全等矩形，且與原矩形都相似，則a＝______（用含n，b的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）①b；②b．

【解析】

（1）先得出AH＝AD，然后進(jìn)一步即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理求出AB，然后通過(guò)相似三角形性質(zhì)進(jìn)一步求解即可得出結(jié)論；

（3）①根據(jù)矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出結(jié)論；②同①的方法即可得出結(jié)論；

（1）∵點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，

∴AH＝AD，

∵正方形AEOH∽正方形ABCD，

∴相似比為：；

故答案為：；

（2）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，根據(jù)勾股定理得，AB＝5，

∴△ACD與△ABC相似的相似比為：，△BCD與△ABC的相似比為：，

故答案為：，；

（3）①∵矩形ABEF∽矩形FECD，

∴AF：AB＝AB：AD，

即a：b＝b：a，

∴a＝b；

故答案為：b

②每個(gè)小矩形都是全等的，則其邊長(zhǎng)為b和a，

則b：a＝a：b，

∴a＝b；

故答案為：b