Question

（2012•眉山）已知：如圖，在直角坐標系中，有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB、AC相交于D點，雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過D點，交BC的延長線于E點，且OB•AC=160，有下列四個結論：
①雙曲線的解析式為y=

20

x

（x＞0）；
②E點的坐標是（4，8）；
③sin∠COA=

4

5

；
④AC+OB=12

5

，其中正確的結論有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：過點C作CF⊥x軸于點F，由OB•AC=160可求出菱形的面積，由A點的坐標為（10，0）可求出CF的長，由勾股定理可求出OF的長，故可得出C點坐標，對角線OB、AC相交于D點可求出D點坐標，用待定系數(shù)法可求出雙曲線y=

k

x

（x＞0）的解析式，由反比例函數(shù)的解析式與直線BC的解析式聯(lián)立即可求出E點坐標；由sin∠COA=

CF

OC

可求出∠COA的正弦值；根據(jù)A、C兩點的坐標可求出AC的長，由OB•AC=160即可求出OB的長．

解答：解：過點C作CF⊥x軸于點F，
∵OB•AC=160，A點的坐標為（10，0），
∴OA•CF=

1

2

OB•AC=

1

2

×160=80，菱形OABC的邊長為10，
∴CF=

80

OA

=

80

10

=8，
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴OF=

OC2-CF2

=

102-82

=6，
∴C（6，8），
∵點D時線段AC的中點，
∴D點坐標為（

10+6

2

，

8

2

），即（8，4），
∵雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過D點，
∴4=

k

8

，即k=32，
∴雙曲線的解析式為：y=

32

x

（x＞0），故①錯誤；
∵CF=8，
∴直線CB的解析式為y=8，
∴

y= 32 x y=8

，解得

x=4 y=8

，
∴E點坐標為（4，8），故②正確；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA=

CF

OC

=

8

10

=

4

5

，故③正確；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC=

(10-6)2+(0-8)2

=4

5

，
∵OB•AC=160，
∴OB=

160

AC

=

160

4 5

=8

5

，
∴AC+OB=4

5

+8

5

=12

5

，故④正確．
故選C．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到菱形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等相關知識，難度適中．