(2012•眉山)已知:如圖,直線y=3x+3與x軸交于C點(diǎn),與y軸交于A點(diǎn),B點(diǎn)在x軸上,△OAB是等腰直角三角形.
(1)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)若直線CD∥AB交拋物線于D點(diǎn),求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若P點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),且在第一象限,那么△PAB是否有最大面積?若有,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAB的最大面積;若沒有,請說明理由.
分析:(1)求得直線y=3x+3與坐標(biāo)軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)OB=OA即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求得經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式即可;
(2)首先利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式,然后根據(jù)CD∥AB得到兩直線的k值相等,根據(jù)直線CD經(jīng)過點(diǎn)C求得直線CD的解析式,然后求得直線CD和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可;
(3)本問關(guān)鍵是求出△ABP的面積表達(dá)式.這個(gè)表達(dá)式是一個(gè)關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù),利用二次函數(shù)求極值的方法可以確定P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)令y=3x+3=0得:x=-1,
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,0);
令x=0得:y=3x+3=3×0+3=3
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3);
∵△OAB是等腰直角三角形.
∴OB=OA=3,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),
設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,
c=3
9a+3b+3=0
a-b+3=0

解得:
a=-1
b=2
c=3

∴解析式為:y=-x2+2x+3;

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,
3k+b=0
b=3

解得:
k=-1
b=3

∴直線AB的解析式為:y=-x+3
∵線CD∥AB
∴設(shè)直線CD的解析式為y=-x+b
∵經(jīng)過點(diǎn)C(-1,0),
∴-(-1)+b=0
解得:b=-1,
∴直線CD的解析式為:y=-x-1,
令-x-1=-x2+2x+3,
解得:x=-1,或x=4,
將x=4代入y=-x2+2x+3=-16+2×4+3=-5,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(4,-5);

(3)存在.如圖1所示,設(shè)P(x,y)是第一象限的拋物線上一點(diǎn),
過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N,則ON=x,PN=y,BN=OB-ON=3-x.
S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB-S△AOB
=
1
2
(OA+PN)•ON+
1
2
PN•BN-
1
2
OA•OB
=
1
2
(3+y)•x+
1
2
y•(3-x)-
1
2
×3×3
=
3
2
(x+y)-
9
2
,
∵P(x,y)在拋物線上,∴y=-x2+2x+3,代入上式得:
S△PAB=
3
2
(x+y)-
9
2
=-
3
2
(x2-3x)=-
3
2
(x-
3
2
2+
27
8
,
∴當(dāng)x=
3
2
時(shí),S△PAB取得最大值.
當(dāng)x=
3
2
時(shí),y=-x2+2x+3=
15
4
,
∴P(
3
2
,
15
4
).
所以,在第一象限的拋物線上,存在一點(diǎn)P,使得△ABP的面積最大;
P點(diǎn)的坐標(biāo)為(
3
2
,
15
4
),最大值為:
27
8
點(diǎn)評:本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)(二次函數(shù)和一次函數(shù))的解析式、圖形面積的表示方法等重要知識(shí)點(diǎn),難度不是很大.注意第(3)問中圖形面積的表示方法-并非直接用底乘以高,而是通過其他圖形組合轉(zhuǎn)化而來-這是壓軸題中常見的技巧,需要認(rèn)真掌握.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•眉山)已知:如圖,在直角坐標(biāo)系中,有菱形OABC,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(10,0),對角線OB、AC相交于D點(diǎn),雙曲線y=
k
x
(x>0)經(jīng)過D點(diǎn),交BC的延長線于E點(diǎn),且OB•AC=160,有下列四個(gè)結(jié)論:
①雙曲線的解析式為y=
20
x
(x>0);
②E點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,8);
③sin∠COA=
4
5
;
④AC+OB=12
5
,其中正確的結(jié)論有( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•眉山)已知:PA、PB與⊙O相切于A點(diǎn)、B點(diǎn),OA=1,PA=
3
,則圖中陰影部分的面積是
3
-
π
3
3
-
π
3
(結(jié)果保留π).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•眉山)已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,BD是對角線,BE平分∠DBC交DC于E點(diǎn),交DF于M,F(xiàn)是BC延長線上一點(diǎn),且CE=CF.
(1)求證:BM⊥DF;
(2)若正方形ABCD的邊長為2,求ME•MB.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案