Question

【題目】已知中，，，．點(diǎn)由出發(fā)沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)由出發(fā)沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度相同，點(diǎn)在上，，且點(diǎn)在點(diǎn)的下方，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，也停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)．解答下列問(wèn)題：

如圖，當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形；

如圖，把沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)．

①當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為菱形？并求出菱形的面積；

②如圖，分別取，的中點(diǎn)，，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，則線段掃過(guò)的區(qū)域的形狀為________，其面積為________．

Answer 1

【答案】平行四邊形

【解析】

（1）△ADF為直角三角形，有兩種可能：∠ADF=90°或∠AFD=90°，根據(jù)銳角三角函數(shù)，分兩種情況進(jìn)行討論，列方程求解即可；

（2）①根據(jù)菱形的判定，可知當(dāng)AD=DF時(shí)，四邊形ADFD′為菱形，根據(jù)銳角三角函數(shù)列方程求出x，計(jì)算菱形的面積即可；②根據(jù)三角形中位線定理可知，線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形，其面積為．

解：（1）∵∠ACB=90°，BC=8，tanA=

∴BC=8，AB=10，

∴AD=x，BE=x，AF=6-x，

當(dāng)∠ADF=90°，如圖1左圖，

∵tanA=

∴cosA=

∴

x=；

當(dāng)∠AFD=90°，如圖1右圖，

∵tanA=

∴cosA=

∴

x=，

∴當(dāng)

x=或x=，

△ADF為直角三角形；

（2）①如圖2，

∵AD=AD′，D′F=DF，

∴當(dāng)AD=DF時(shí)，四邊形ADFD′為菱形，

∴連接DD′⊥AF于G，AG=，

∵tanA=，

∴cosA=，

∴，

∴x=，

S菱形=×DD′×AF=××=；

②平行四邊形，

∵M(jìn)、N分別為D′F、D′E的中點(diǎn)，

∴MN∥EF，MN=EF=2，

∴線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形，

當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到C，則F正好運(yùn)動(dòng)到A，此時(shí)MA=D′A=DA=3，

∵∠DAB=∠D′AB，

∴tanA=tan∠D′AB=，

點(diǎn)M到AB的距離設(shè)為4x，則（3x）2+（4x）2=32，

解得：x=，

4x=

∴線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形的面積=2×=．