Question

已知：如圖，拋物線y=

1

4

x2+

1

2

x-2與x、y軸分別相交于A、B兩點，將△AOB繞著點O逆時針旋90°到△A′OB′，且拋物線y=ax²+2ax+c（a≠0）過點A′、B′．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求拋物線y=ax²+2ax+c的解析式；
（3）點D在x軸上，若以B、B′、D為頂點的三角形與△A′B′B相似，求點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）令y=

1

4

x2+

1

2

x-2=0，解一元二次方程即可求出A點的坐標，B點是（0，c）．
（2）把點A′、B′的坐標代入y=ax²+2ax+c，求出a，c問題得解．
（3）因為相似對應的不唯一性，需要討論，分別求出滿足題意的D的坐標．

解答：解：（1）令y=

1

4

x2+

1

2

x-2=0，
解得：x₁=-4，x₂=2
∵A點在x軸的負半軸，
∴x₂=2（舍去）
∴A（-4，0），
∵點B是拋物線與y軸的交點，
∴B（0，-2）；

（2）由題意得A′（0，-4），B′（2，0），
代入y=ax²+2ax+c得y=

1

2

x2+x-4；

（3）由題意有∠OB'B=45°，∠B′BA′=135°，且

BB′

BA′

=

1

2

=

2

，
如果∠B′DB=135°，由于∠OB′B=45°，所以不可能；
如果∠DBB′=135°，由于∠OB′B=45°，所以也不可能；
若∠DB′B=135°，則點D在B'的右側
當

BB′

B′D

=

1

2

或

BB′

B′D

=

2

時，△BB′D與△A′B′B相似，
得DB′=2或DB′=4，
∴D（4，0）或D（6，0）．

點評：本題考查的是二次函數與相似的綜合應用，這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．