(2012•南寧模擬)如圖,在△ABC中,點D在AC上,DA=DB,∠C=∠DBC,以AB為直徑的⊙O交AC于點E,F(xiàn)是⊙O上的點,且AF=BF.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若sinC=
3
5
,AE=3
2
,求sinF的值和AF的長.
分析:(1)欲證BC是⊙O的切線,只需證明∠ABC=90°即可;
(2)如圖,連接BE,BF,構(gòu)建Rt△AEB和Rt△AFB.利用圓周角定理(同弧所對的圓周角相等)、等量代換以及切線的性質(zhì)推知所求的∠F與已知∠C的數(shù)量關(guān)系sin∠AFE=sin∠ABE=sinC;然后利用銳角三角函數(shù)的定義可以求得sinF的值和AF的長.
解答:解:(1)證明:∵DA=DB(已知),
∴∠DAB=∠DBA(等邊對等角);
又∵∠C=∠DBC(已知),
∴∠DBA﹢∠DBC=
1
2
(∠DAB+∠DBA+∠C+∠DBC)=
1
2
×180°=90°(三角形內(nèi)角和定理),即∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
又∵點B在⊙O上,
∴BC是⊙O的切線;

(2)如圖,連接BE,BF.
∵AB是⊙O的直徑(已知),
∴∠AEB=90°(直徑所對的圓周角是直角),
∴∠EBC+∠C=90°(直角三角形的兩個銳角互余),
∵∠ABC=90°(由(1)知),
∴∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠C=∠ABE(等量代換);
又∵∠AFE=∠ABE(同弧所對的圓周角相等),
∴∠AFE=∠C(等量代換),
∴sin∠AFE=sin∠ABE=sinC,
∴sin∠AFE=
3
5

∴∠AFB=90°,
在Rt△ABE中,AB=
AE
sin∠ABE
=5
2

∵AF=BF(已知),
∴AF=BF=5.
點評:本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及解直角三角形.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.
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