【題目】如果P 是正方形ABCD 內(nèi)的一點,且滿足∠APB+∠DPC=180°,那么稱點P 是正方形 ABCD 的“對補點”.
(1)如圖1,正方形ABCD 的對角線AC,BD 交于點M,求證:點M 是正方形ABCD 的對補點;
(2)如圖2,在平面直角坐標系中,正方形ABCD 的頂點A(1,1),C(3,3).除對角線交點外,請再寫出一個該正方形的對補點的坐標,并證明.
【答案】(1)證明見解析;
(2)對補點如:N(, ).證明見解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的對角線互相垂直,得到∠DMC=∠AMB=90°,從而得到點M是正方形ABCD的對補點.(2) 在直線y=x(1<x<3)或直線y=-x+4(1<x<3)上
除(2,2)外的任意點均可,通過證明△DCN≌△BCN,得到∠CND=∠CNB,利用鄰補角的性質(zhì)即可得出結論.
試題解析:
(1)
∵四邊形ABCD是正方形,
∴ AC⊥BD.
∴ ∠DMC=∠AMB=90°.
即 ∠DMC+∠AMB=180°.
∴ 點M是正方形ABCD的對補點.
(2)對補點如:N(, ).
說明:在直線y=x(1<x<3)或直線y=-x+4(1<x<3)上
除(2,2)外的任意點均可.
證明(方法一):
連接AC ,BD
由(1)得此時對角線的交點為(2,2).
設直線AC的解析式為:y=kx+b,
把點A(1,1),C(3,3)分別代入,
可求得直線AC的解析式為:y=x.
則點N(, )是直線AC上除對角線交點外的一點,且在正方形ABCD內(nèi).
連接AC,DN,BN,
∵ 四邊形ABCD是正方形,
∴ DC=BC,∠DCN=∠BCN.
又∵ CN=CN,
∴ △DCN≌△BCN.
∴ ∠CND=∠CNB.
∵ ∠CNB+∠ANB=180°,
∴ ∠CND+∠ANB=180°.
∴ 點N是正方形ABCD的對補點.
證明(方法二):
連接AC ,BD,
由(1)得此時對角線的交點為(2,2).
設點N是線段AC上的一點(端點A,C及對角線交點除外),
連接AC,DN,BN,
∵ 四邊形ABCD是正方形,
∴ DC=BC,∠DCN=∠BCN.
又∵ CN=CN,
∴ △DCN≌△BCN.
∴ ∠CND=∠CNB.
∵ ∠CNB+∠ANB=180°,
∴ ∠CND+∠ANB=180°.
∴ 點N是正方形ABCD除對角線交點外的補點.
設直線AC的解析式為:y=kx+b,
把點A(1,1),C(3,3)分別代入,可求得直線AC的解析式為:y=x.
在1<x<3范圍內(nèi),任取一點均為該正方形的對補點,如N(, ).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的個數(shù)有( )
①射線AB與射線BA表示同一條射線.
②若∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,則∠2=∠3.
③一條射線把一個角分成兩個角,這條射線叫這個角的平分線.
④連結兩點的線段叫做兩點之間的距離.
⑤40°50ˊ=40.5°.
⑥互余且相等的兩個角都是45°.
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB,AC邊翻折180°形成的,若∠1:∠2:∠3=28:5:3,則∠α的度數(shù)為( )
A.80°
B.100°
C.60°
D.45°
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽像出的幾何圖形,B,C,E在同一條直線上,連結DC.
(1)請找出圖2中的全等三角形,并給予證明(說明:結論中不得含有未標識的宇母);
(2)證明:DC⊥BE.
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