Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的正半軸上.若點(diǎn)，在線段上，且為某個(gè)一邊與軸平行的矩形的對角線，則稱這個(gè)矩形為點(diǎn)、的“涵矩形”.下圖為點(diǎn)，的“涵矩形”的示意圖.

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為.

①若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)、的“涵矩形”的周長為__________.

②若點(diǎn)，的“涵矩形”的周長為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，，中，能夠成為點(diǎn)、的“涵矩形”的頂點(diǎn)的是_________.

（2）四邊形是點(diǎn)、的“涵矩形”，點(diǎn)在的內(nèi)部，且它是正方形.

①當(dāng)正方形的周長為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

②當(dāng)正方形的對角線長度為時(shí)，連結(jié).直接寫出線段的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①． ②；（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)為或．②．

【解析】

(1)①利用A、B的坐標(biāo)求出直線AB的解析式，再將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入，計(jì)算即可得點(diǎn)、的“新矩形”的周長；②由直線AB的解析式判定是否經(jīng)過E、F、G三點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)只經(jīng)過了F（1，2），能夠成為點(diǎn)、的“涵矩形”的頂點(diǎn)的是F（1，2）

（2）①①根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出∠ABO=45°，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線AB的函數(shù)表達(dá)式，由的橫坐標(biāo)為，可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由正方形的周長可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②由正方形的對角線長度為，可得正方形的邊長為1，由直線AB的解析式y=-x+6可知M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y=-x+5，由點(diǎn)在的內(nèi)部，x的取值范圍是0<x<5,OM＜5，OM最小值是由O向直線y=-x+5作垂線段，此時(shí)OM= ，可得OM的取值范圍.

（1）①解：由A(0,6),B(3，0)可得直線AB的解析式為：y=-2x+6，

∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)是

∴當(dāng)x=時(shí)，y=3

∴P（，3）．

∵ 點(diǎn)與點(diǎn)重合，

∴Q（3，0）

∴點(diǎn)、的“涵矩形”的寬為：3-=，長為3-0=3

∴點(diǎn)、的“涵矩形”的周長為：

故答案為：9

②．由①可得直線AB的解析式為：y=-2x+6可設(shè)Q(a,-2a+6),則成為點(diǎn)、的“涵矩形”的頂點(diǎn)且在AOB內(nèi)部的一點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，-2a+6）

∴PM=4-(-2a+6)=2a-2，MQ=a-1

∵點(diǎn)，的“涵矩形”的周長為

∴PM+MQ=3

∴2a-2+a-1=3

解得：a=2

∴M(1,2)

故答案為：F(1,2),只寫或也可以.

（2）①點(diǎn)、的“涵矩形”是正方形，

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

直線的函數(shù)表達(dá)式為．

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

正方形的周長為，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或，

點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

②∵正方形的對角線長度為，

∴可得正方形的邊長為1，

因?yàn)橹本�AB的解析式y=-x+6可設(shè)M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y=-x+b，且過（0，5）

故M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y=-x+5

∵點(diǎn)在的內(nèi)部，x的取值范圍是0<x<5,

∴當(dāng)M落在OB或者OA邊上時(shí)，OM取得最大值，此時(shí)OM=5,由于點(diǎn)在的內(nèi)部，

∴OM＜5，

當(dāng)OM⊥直線y=-x+5時(shí)，OM取得最小值，此時(shí)OM= ，

∴OM的取值范圍.．

故答案為：