Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為48cm，∠A=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線路AB—BD做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，沿著線路DC—CB—BA做勻速運(yùn)動(dòng).

（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度分別為8cm/s、10cm/s. 經(jīng)過12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點(diǎn)，若按角的大小進(jìn)行分類，請(qǐng)問△AMN是哪一類三角形，并說明理由；
（3）設(shè)問題（2）中的動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從M、N同時(shí)沿原路返回，動(dòng)點(diǎn)P的速度不變，動(dòng)點(diǎn)Q的速度改變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823022852380265.png" style="vertical-align:middle;" />cm/s，經(jīng)過3秒后，P、Q分別到達(dá)E、F兩點(diǎn)，若△BEF與問題（2）中的△AMN相似，試求的值.

Answer 1

（1）48cm；（2）直角三角形；（3）4或12或24

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合可得△ABD是等邊三角形，即可求得結(jié)果；
（2）先分別求得12秒后點(diǎn)P和點(diǎn)Q到達(dá)的位置，連結(jié)MN，由（1）知△ABD（M）是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形即可得到結(jié)果；
（3）依題意得，3秒時(shí)點(diǎn)P走過的路程為24cm，點(diǎn)Q走過的路程為3cm，分當(dāng)點(diǎn)Q在NB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，三種情況，結(jié)合菱形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.
（1）∵四邊形ABCD是菱形
∴AB="BC=CD=AD=48"
又∵
∴△ABD是等邊三角形
∴BD=AB=48
∴BD的長(zhǎng)為48cm；
（2）如圖1，12秒后，點(diǎn)P走過的路程為8×12=96
∴12秒后點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D（M）
又∵12秒后，點(diǎn)Q走過的路程為10×12=120
∴12秒后點(diǎn)Q到達(dá)AB的中點(diǎn)N
連結(jié)MN，由（1）知△ABD（M）是等邊三角形
∴MN⊥AB于點(diǎn)N
∴
∴△AMN是直角三角形；
（3）依題意得，3秒時(shí)點(diǎn)P走過的路程為24cm，點(diǎn)Q走過的路程為3cm
∴點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)
∴DE=BE=24
當(dāng)點(diǎn)Q在NB上時(shí)（如圖1），

∴
∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)
若EF₁⊥DB，則點(diǎn)F₁與點(diǎn)A重合，這種情況不成立
∴EF₁⊥AB時(shí)，∠EF₁B=∠ANM = 90°
由（1）知∠ABD =∠A = 60°
∴△EF₁B∽△MAN
∴
∴
∴，
如圖2，由菱形的軸對(duì)稱性，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，

∴點(diǎn)Q走過的路程為36cm
∴
如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合

由（1）知，△BCD是等邊三角形
∴EF₃⊥BD于點(diǎn)E，∠EBF₃=∠A=60°
∴△F₃EB∽△MNA
此時(shí)BF₃=48
∴點(diǎn)Q走過的路程為72cm
∴
綜上所述，若△BEF∽△ANM ，則的值為4cm/s或12cm/s或24cm/s.
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的四條邊均相等；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，注意對(duì)應(yīng)字母在對(duì)應(yīng)位置上.