Question

【題目】如圖所示，二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OB<OC)是方程的兩個(gè)根，且A點(diǎn)坐標(biāo)為(-6,0)．

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE.設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為s，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S＝，m的取值范圍是0＜m＜8；（3）存在．當(dāng)m＝4時(shí)，S有最大值，S最大值為8，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0），△BCE為等腰三角形．

【解析】

（1）解方程求得：，根據(jù)題意，得點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)坐標(biāo)為，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式列出方程組求解得的值即可；

（2）過點(diǎn)過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，由，得出△BEF∽△BAC，利用相似比求出EF， sin∠FEG＝sin∠CAB＝， S＝S△BCES△BFE=，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）利用配方法將（2）中S與m之間的函數(shù)關(guān)系式寫出頂點(diǎn)式，可求S有最大值時(shí)，m的值，從而確定點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BCE的形狀．

（1）方程的兩個(gè)根為2和8.

由于點(diǎn)B在x正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，且，所以，，故，點(diǎn)坐標(biāo)為.

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以

解得：，.

故此二次函數(shù)的表達(dá)式為.

（2）∵AB＝8，OC＝8，依題意，AE＝m，則BE＝8m，

∵OA＝6，OC＝8，

∴AC＝10．

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC．

∴．

即．

∴EF＝．

過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝．

∴．

∴FG＝＝8m．

∴S＝S△BCES△BFE

＝（8m）×8（8m）（8m）

＝（8m）（88＋m）

＝（8m）m

＝，自變量m的取值范圍是0＜m＜8，

故答案為：S＝，m的取值范圍是0＜m＜8．

（3）存在．

理由如下：

∵S＝=（m4）2＋8，且＜0，

∴當(dāng)m＝4時(shí)，S有最大值，S最大值＝8．

∵m＝4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）．

∴點(diǎn)C在線段BE的垂直平分線上，CE=CB,

∴△BCE為等腰三角形，

故答案為：存在，S最大值＝8，E為（2，0），△BCE為等腰三角形．