Question

如圖所示，∠MBN=45°，若△ABC的頂點(diǎn)A在射線BM上，且AB=

2

，點(diǎn)C在射線BN上運(yùn)動(dòng)（C不與B重合），請(qǐng)你探究：
（1）若△ABC是直角三角形，試求線段BC的長(zhǎng)，并將點(diǎn)C的位置標(biāo)注在圖形中；

（2）探究：①當(dāng)BC的值在什么范圍時(shí)，△ABC是銳角三角形；

②當(dāng)BC的值在什么范圍時(shí)，△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

分析：①若△ABC是直角三角形，則有兩種情況：∠ACB=90°或∠BAC=90°．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算BC的長(zhǎng)；
②結(jié)合圖形，知要使△ABC是銳角三角形，則應(yīng)介于①的兩種情況之間；
③結(jié)合圖形，知要使△ABC是鈍角三角形，則應(yīng)小于①中求得的較小的BC或大于①中求得的較大的BC的長(zhǎng)．

解答：解：①如圖所示，

當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，則BC=

2

2

AB=1；
當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，則BC=

2

AB=2．
即BC=1或2時(shí)，△ABC是直角三角形；
②當(dāng)1＜BC＜2時(shí)，△ABC是銳角三角形；
③當(dāng)BC＜1或BC＞2時(shí)，△ABC是鈍角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了等腰直角三角形的性質(zhì)，能夠結(jié)合圖形分析不同形狀的三角形的取值范圍．