Question

【題目】如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E為CD上一點，且∠BAE=45°．若CD=4，則△ABE的面積為（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】如圖取CD的中點F，連接BF延長BF交AD的延長線于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．

∵BC∥AG，

∴∠BCF=∠FDG，

∵∠BFC=∠DFG，F(xiàn)C=DF，

∴△BCF≌△GDF，

∴BC=DG，BF=FG，

∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，

∴AB=AG，∵BF=FG，

∴BF⊥AF，∠ABF=∠G=∠CBF，

∵FH⊥BA，F(xiàn)C⊥BC，

∴FH=FC，易證△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，

∴BC=BH，AD=AH，

由題意AD=DC=4，設(shè)BC=TD=BH=x，

在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，

∴（x+4）2=42+（4﹣x）2，

∴x=1，

∴BC=BH=TD=1，AB=5，

設(shè)AK=EK=y，DE=z，

∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，

∴42+z2=2y2①，

（5﹣y）2+y2=12+（4﹣z）2②

由②得到25﹣10y+2y2=5﹣8z+z2③，

①代入③可得z= ④

④代入①可得y= （負(fù)根已經(jīng)舍棄），

∴S△ABE= ×5× = ，

所以答案是：D．

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的面積的相關(guān)知識，掌握三角形的面積=1/2×底×高．