Question

已知直線 y=kx+3(k<0)分別交 x軸、y 軸于A、B兩點，線段 OA 上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設(shè)運動時間為t秒.  
  (1)當 k=-1時，線段OA上另有一動點Q 由點A 向點O運動，它與點 P 以相同速度同時出發(fā)，當點P到達點A時兩點同時停止運動(如圖 1).    
 ①直接寫出 t=1秒時 C、Q兩點的坐標；  
 ②若以Q、C、A為頂點的三角形與△AOB 相似，求t的值.  
  (2)當時，設(shè)以C為頂點的拋物線y=+n與直線AB的另一交點為D(如圖 2).   
  ①求CD的長；
  ②設(shè)△COD的OC邊上的高為 h，當 t為何值時h的值最大？

Answer 1

解：(1)①C(1，2)，Q(2，0).    
 ②由題意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）
分兩種情形討論：
情形一：當△AQC∽△AOB時，
AQC =AOB= 90°，
∴ CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴點P與點Q重合，OQ=OP，即3-t= t，
∴t=1.5；
情形二：當△ACQ∽△AOB時，
ACQ=AOB=90°，
∵OA = OB = 3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ是等腰直角三角形，
∵CP⊥OA，
∴AQ= 2CP，即 t = 2(-t +3)，
∴t = 2，
∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒；
(2)①由題意得：C(t，-t+ 3)
∴以C為頂點的拋物線解析式是y= ，
由=-x+3，
解得：；
過點D作DE⊥CP于點E，則DEC= AOB =90°，DE// OA，
∴EDC=OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴，
∵AO= 4，AB = 5，DE=t-
∴CD=
②∵CD=，CD邊上的高= ，
∴，
∴為定值；要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短
因為當OC⊥AB時OC最短，此時OC的長為，BCO=90°，
∵AOB=90°，
∴COP=90°-BOC=OBA，
又∵CP⊥OA，
∴
∴，OP=，即t=，
∴當t為秒時，h的值最大。