Question

（2012•義烏市）如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=-

4

27

x2+

22

3

交于點A（3，6）．
（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；
（2）點P為拋物線第一象限內的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；
（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點E在線段OA上（與點O、A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數分別是1個、2個？

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出直線y=kx的解析式，根據A點坐標用勾股定理求出線段OA的長度；
（2）如答圖1，過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H，構造相似三角形△QHM與△QGN，將線段QM與線段QN的長度之比轉化為相似三角形的相似比，即

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2為定值．需要注意討論點的位置不同時，這個結論依然成立；
（3）由已知條件角的相等關系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．設OE=a，則由相似邊的比例關系可以得到m關于x的表達式m=-

1

5

a²+

3 5

5

a（0＜a＜3

5

），這是一個二次函數．借助此二次函數圖象（如答圖3），可見m在不同取值范圍時，a的取值（即OE的長度，或E點的位置）有1個或2個．這樣就將所求解的問題轉化為分析二次函數的圖象與性質問題．
另外，在相似三角形△ABE與△OED中，運用線段比例關系之前需要首先求出AB的長度．如答圖2，可以通過構造相似三角形，或者利用一次函數（直線）的性質求得AB的長度．

解答：解：（1）把點A（3，6）代入y=kx 得；
∵6=3k，
∴k=2，
∴y=2x．（2分）
OA=

32+62

=3

5

．…（3分）

（2）

QM

QN

是一個定值，理由如下：
如答圖1，過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H．
①當QH與QM重合時，顯然QG與QN重合，
此時

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2；
②當QH與QM不重合時，
∵QN⊥QM，QG⊥QH
不妨設點H，G分別在x、y軸的正半軸上，
∴∠MQH=∠GQN，
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN…（5分），
∴

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2，
當點P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得

QM

QN

=2． …（7分）①①

（3）如答圖2，延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R
∵∠AOD=∠BAE，
∴AF=OF，
∴OC=AC=

1

2

OA=

3

2

5

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC，
∴

OF

OC

=

AO

OR

=

3 5

3

=

5

，
∴OF=

3

2

5

×

5

=

15

2

，
∴點F（

15

2

，0），
設點B（x，-

4

27

x2+

22

3

），
過點B作BK⊥AR于點K，則△AKB∽△ARF，
∴

BK

FR

=

AK

AR

，
即

x-3

7.5-3

=

6-(- 4 27 x2+ 22 3 )

6

，
解得x₁=6，x₂=3（舍去），
∴點B（6，2），
∴BK=6-3=3，AK=6-2=4，
∴AB=5         …（8分）；
（求AB也可采用下面的方法）
設直線AF為y=kx+b（k≠0）把點A（3，6），點F（

15

2

，0）代入得
k=-

4

3

，b=10，
∴y=-

4

3

x+10，
∴

y=- 4 3 x+10 y=- 4 27 x2+ 22 3

，
∴

x1=3 y1=6

（舍去），

x2=6 y2=2

，
∴B（6，2），
∴AB=5…（8分）
（其它方法求出AB的長酌情給分）
在△ABE與△OED中
∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，
∴∠ABE=∠DEO，
∵∠BAE=∠EOD，
∴△ABE∽△OED．…（9分）
設OE=a，則AE=3

5

-a（0＜a＜3

5

），
由△ABE∽△OED得

AE

AB

=

OD

OE

，
∴

3 5 -a

5

=

m

a

，
∴m=

1

5

a（3

5

-a）=-

1

5

a²+

3 5

5

a（0＜a＜3

5

），
∴頂點為（

3

2

5

，

9

4

）
如答圖3，當m=

9

4

時，OE=a=

3

2

5

，此時E點有1個；
當0＜m＜

9

4

時，任取一個m的值都對應著兩個a值，此時E點有2個．
∴當m=

9

4

時，E點只有1個…（11分）
當0＜m＜

9

4

時，E點有2個…（12分）．

點評：本題是中考壓軸題，難度較大，解題核心是相似三角形與拋物線的相關知識，另外也考查了一次函數、勾股定理等重要知識點．解題的難點在于轉化思想的運用，本題第（2），（3）問都涉及到了問題的轉化，要求同學們能夠將所求解的問題轉化為常見的數學問題，利用自己所熟悉的數學知識去解決問題，否則解題時將不知道從何下手而導致失分．