【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為BC邊上一動點,連接AD,以AD為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.

(1)如圖1,若AB=AC,∠BAC=90°,當(dāng)點D在線段BC上時(不與點B重合),

證明:△ACF≌△ABD

(2)如圖2,當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,其它條件不變,猜想CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是什么,并說明理由;

(3)如圖3,若AB≠AC,∠BAC≠90°,∠BCA=45°,點D在線段BC上運動(不與點B重合),試探究CF與BD位置關(guān)系.

【答案】見解析

【解析】(1)根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD,然后利用“邊角邊”證明△ACF和△ABD全等,

(2)先求出∠CAF=∠BAD,然后與①的思路相同求解即可;

(3)過點A作AE⊥AC交BC于E,可得△ACE是等直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=AE,∠AED=45°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD,然后利用“邊角邊”證明△ACF和價AED全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=∠AED,然后求出∠BCF=90°,從而得到CF⊥BD.

解:(1)∵∠BAC=90°,△ADF是等腰直角三角形,

∴∠CAF+∠CAD=90°,∠BAD+∠ACD=90°,AD=AF

∴∠CAF=∠BAD,   

在△ACF和△ABD中,

AB=AC,∠CAF=∠,AD=AF,

∴△ACF≌△ABD(SAS)

(2)CF⊥BD,

如圖2,∵△ADF是等腰直角三角形,

∴AD=AF,

∵∠CAB=∠DAF=90°,

∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,

即∠CAF=∠BAD, 

在△ACF和△ABD中,

AB=AC,∠CAF=∠BAD,AD=AF,

∴△ACF≌△ABD(SAS), 

∴CF=BD,∠ACF=∠B,

∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,

∴CF⊥BD 

(3)CF⊥BD

如圖3,過點A作AE⊥AC交BC于E,

∵∠BCA=45°,

∴△ACE是等腰直角三角形,

∴AC=AE,∠AED=45°,

∵∠CAF+∠CAD=90°,∠EAD+∠CAD=90°,

∴∠CAF=∠EAD,  

在△ACF和△AED中,

AC=AE,∠CAF=∠EAD,AD=AF, 

∴△ACF≌△AED(SAS),  

∴∠ACF=∠AED=45°,

∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°,

∴CF⊥BD.   

“點睛”此題是三角形綜合題,主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),根據(jù)同角的余角相等求出兩邊的夾角相等是證明三角形全等的關(guān)鍵,此類題目的特點是各小題求解思路一般都相同.

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(1)如圖②,當(dāng)∠C≠90°,AD為∠BAC的角平分線時,線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想并證明;

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AQI指數(shù)

質(zhì)量等級

天數(shù)(天)

050

優(yōu)

m

51100

44

101150

輕度污染

n

151200

中度污染

4

201300

重度污染

2

300以上

嚴重污染

2

(1統(tǒng)計表中m= ,n= .扇形統(tǒng)計圖中,空氣質(zhì)量等級為的天數(shù)占 %;

(2)補全條形統(tǒng)計圖,并通過計算估計該市城區(qū)全年空氣質(zhì)量等級為優(yōu)的天數(shù)共多少天?

(3)據(jù)調(diào)查,嚴重污染的2天發(fā)生在春節(jié)期間,燃放煙花爆竹成為空氣污染的一個重要原因,據(jù)此,請你提出一條合理化建議.

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選擇意向

文學(xué)鑒賞

國際象棋

音樂舞蹈

書法

其他

所占百分比

a

20%

b

10%

5%

根據(jù)統(tǒng)計圖表的信息,解答下列問題:

(1)求本次抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)及a、b的值;

(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;

(3)若該校共有1300名學(xué)生,試估計全校選擇音樂舞蹈社團的學(xué)生人數(shù).

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