Question

【題目】請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

人類會(huì)作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前，由我國(guó)的墨子給出圓的概念：“一中同長(zhǎng)也．”．意思說(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等．這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下的定義要早100年．與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．

我們把頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．

弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．

下面是弦切角定理的部分證明過(guò)程：

證明：如圖①，AB與⊙O相切于點(diǎn)A．當(dāng)圓心O在弦AC上時(shí)，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度數(shù)等于它所夾半圓所對(duì)的圓周角度數(shù)．

如圖②，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作直徑AD交⊙O于點(diǎn)D，在上任取一點(diǎn)E，連接EC，ED，EA，則∠CED＝∠CAD．

…

任務(wù)：

(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

(2)如圖③，AB與⊙O相切于點(diǎn)A．當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時(shí)，請(qǐng)寫出弦切角定理的證明過(guò)程．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用圓周角定理得到∠DEA＝90°，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠CED＝∠CAD，最后利用等式的性質(zhì)即可得到∠CEA＝∠CAB；

（2）通過(guò)∠C=90°說(shuō)明∠CFA＋∠FAC＝90°，再根據(jù)同角的余角相等得到∠CAB＝∠CFA即可.

解：（1）∵AD是⊙O直徑，

∴∠DEA＝90°．

∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，

∴∠DAB＝90°．

∴∠CED＋∠DEA＝∠CAD＋∠DAB，即∠CEA＝∠CAB．

∴弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對(duì)的圓周角度數(shù)；

（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作直徑AF交⊙O于點(diǎn)F，連接FC．

∵AF是直徑，

∴∠ACF＝90°．

∴∠CFA＋∠FAC＝90°．

∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，

∴∠FAB＝90°．

∴∠CAB＋∠FAC＝90°．

∴∠CAB＝∠CFA，

即弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．