Question

【題目】如圖①，ΔABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D,以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向ΔABC外作等腰RtΔABE和等腰RtΔACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線DA的垂線，垂足分別為Q、P.

(1)試探究線段EQ和FP之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)如圖②，若連接EF交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由(1)中的結(jié)論你能判斷EH與FH的大小關(guān)系嗎？并說(shuō)明理由.

(3)圖②中的ΔABC與ΔAEF的面積相等嗎？(直接給出結(jié)論，不需要說(shuō)理)

Answer 1

【答案】（1）EQ＝FP，理由見(jiàn)解析；（2）HE＝HF，理由見(jiàn)解析；（3）相等，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)AAS得出△EAQ≌△ABD，可得EQ＝AD，同理AD＝FP，由此可得結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥DA，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥DA，垂足分別為Q、P．根據(jù)AAS證明△EQH≌△FPH即可；

（3）由（1）、（2）中的全等三角形可以推得△ABC與△AEF的面積相等．

解：（1）EQ＝FP，理由如下：

如圖1，∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA＝BA．

∵∠QEA+∠QAE＝90°，∠QAE+∠BAD＝90°，

∴∠QEA＝∠BAD.

在△EAQ與△ABD中，

，

∴△EAQ≌△ABD（AAS），

∴EQ＝AD．

同理AD＝FP．

∴EQ＝FP．

（2）HE＝HF，理由如下：

如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥DA，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥DA，垂足分別為Q、P．

由（1）知EQ＝FP．

在△EQH與△FPH中，

∵，

∴△EQH≌△FPH（AAS）．

∴HE＝HF；

（3）相等．理由如下：

由（1）知，△ABD≌△EAQ，△FPA≌△ADC，則S△ABD＝S△EAQ，S△FPA＝S△ADC．

由（2）知，△EQH≌△FPH，則S△EQH＝S△FPH，

所以S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝S△EAQ﹣S△EQH+S△FPA﹣S△FPH＝S△EAH+S△FHA＝S△AEF，即S△ABC＝S△AEF．

故圖②中的△ABC與△AEF的面積相等．