Question

【題目】如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連結DE，過頂點B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交BC于G．
（1）求證：BG=DE；
（2）若點G為CD的中點，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BF⊥DE，

∴∠GFD=90°，

∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，

∴∠CBG=∠CDE，

在△BCG與△DCE中，

∴△BCG≌△DCE（ASA），

∴BG=DE，

（2）解：設CG=1，

∵G為CD的中點，

∴GD=CG=1，

由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），

∴CG=CE=1，

∴由勾股定理可知：DE=BG= ，

∵sin∠CDE= = ，

∴GF= ，

∵AB∥CG，

∴△ABH∽△CGH，

∴ = ，

∴BH= ，GH= ，

∴ =

【解析】（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，從而可知∠CBG=∠CDE，根據全等三角形的判定即可證明△BCG≌△DCE，從而可知BG=DE；（2）設CG=1，從而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG= ，由易證△ABH∽△CGH，所以 ，從而可求出HG的長度，進而求出 的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．