Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足為E，點F在BD上，連接AF、EF．
（1）求證：DA=DE；
（2）如果AF∥CD，求證：四邊形ADEF是菱形．
（3）如果∠C=60°，EC=3，求AB的長．

Answer 1

證明：（1）∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠CDB，
又∵AB⊥AD，BE⊥CD，
∴∠BAD=∠BED=90°，
在△ABD和△EBD中，
∵

∠ADB=∠CDB ∠BAD=∠BED BD=BD

∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AD=ED．

（2）∵AF∥CD，∴∠AFD=∠EDF，
∴∠AFD=∠ADF，即得AF=AD，
又∵AD=ED，
∴AF=DE，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
又∵AD=ED，
∴四邊形ADEF是菱形；

（3）∵∠C=60°，EC=3，tan60°=

BE

CE

=

3

，
∴BE=3

3

，
∵AB=BE，
∴AB=3

3

．