Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，直徑AF平分∠BAC，交BC于點D．
（1）如圖1，求證：AB=AC；
（2）如圖2，延長BA到點E，連接ED、EC，ED交AC于點G，且ED=EC，求證：∠EGC=∠ECA+2∠ACB；
（3）如圖3，在（2）的條件下，當BC是⊙O的直徑時，取DC的中點M，連接AM并延長交圓于點N，且EG=5，連接CN并求CN的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接BF、CF，

∵AF是⊙O的直徑，

∴∠ABF=∠ACF=90°，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAF=∠CAF，

∴∠AFB=∠AFC，

∴ ，

∴AB=AC

（2）證明：如圖2，∵ED=EC，

∴∠EDC=∠ECD，

∵∠EGC=∠ACB+∠EDC，

∴∠EGC=∠ACB+∠ECD=∠ACB+∠ACB+∠ECA=∠ECA+2∠ACB

（3）證明：如圖3，連接EM，交AC于H，連接OH，

∵ED=EC，M是DC的中點，

∴EM⊥DC，

∴∠BME=90°，

∵BC為⊙O 的直徑，

∴∠BAC=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=45°，

∴△BME是等腰直角三角形，

∴∠BEM=45°，

∴△EAH是等腰直角三角形，

∴AE=AH，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AO⊥BC，AO=OB=OC= BC，

∵∠AOC=∠HMC=90°，

∴MH∥AO，

∵M是OC的中點，

∴H是AC的中點，

∴AH=CH=OH，OH⊥AC，

∴AE=OH，

∵∠EAH=∠AHO=90°，

∴AE∥OH，

∴四邊形AOHE是平行四邊形，

∴AG=GH，EG=OG=5，

設AG=x，則GH=x，OH=2x，

在Rt△OGH中，52=x2+（2x）2，

x= ，

∴AG=GH= ，OH=HC=2 ，AC=4 ，

∴AO= = =2 ，

∴OC=2 ，

∴MC= OC= ，

在Rt△AOM中，AM= = =5 ，

∵∠N=∠B=45°，

∴∠N=∠ACB=45°，

∵∠NAC=∠MAC，

∴△AMC∽△ACN，

∴ ，

∴ ，

∴CN=4．

【解析】（1）連接BF、CF，根據角平分線和直徑所對的圓周角是直角得：∠AFB=∠AFC，則所對的弧相等，弦相等；（2）根據等腰三角形的性質：等邊對等角得：∠EDC=∠ECD，再由外角定理得：∠EGC=∠ACB+∠EDC，等量代換可得結論；（3）作輔助線，構建高線和中位線，①證明四邊形AOHE是平行四邊形，得AG=GH，EG=OG=5，②設AG=x，則GH=x，OH=2x，分別計算AG，OH，AC，AO，AM的長；③證明△AMC∽△ACN，列比例式可求得CN的長．