【題目】綜合題
(1)如圖①,OP是∠MON的平分線,點(diǎn)A為OM上一點(diǎn),點(diǎn)B為OP上一點(diǎn).請你利用該圖形在ON上找一點(diǎn)C,使△COB≌△AOB,請?jiān)趫D①畫出圖形.參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問題:

(2)如圖②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F.請你寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

(3)如圖③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他條件不變,在(2)中所得結(jié)論是否仍然成立?請你直接作出判斷,不必說明理由.

【答案】
(1)解:如圖①所示,△COB≌△AOB,點(diǎn)C即為所求.


(2)解:如圖②,在CG上截取CG=CD,

∵CE是∠BCA的平分線,

∴∠DCF=∠GCF,

在△CFG和△CFD中,

CG=CD,∠DCF=∠GCF,CF=CF,

∴△CFG≌△CFD(SAS),

∴DF=GF.

∵∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,

∴∠FAC= ∠BAC,∠FCA= ∠ACB,且∠EAF=∠GAF,

∴∠FAC+∠FCA= (∠BAC+∠ACB)= =60°,

∴∠AFC=120°,

∴∠CFD=60°=∠CFG,

∴∠AFG=60°,

又∵∠AFE=∠CFD=60°,

∴∠AFE=∠AFG,

在△AFG和△AFE中,

∠AFE=∠AFG,AF=AF,∠EAF=∠GAF,

∴△AFG≌△AFE(ASA),

∴EF=GF,

∴DF=EF;


(3)解:DF=EF 仍然成立.

證明:如圖③,在CG上截取AG=AE,

同(2)可得△EAF≌△GAF(SAS),

∴FE=FG,∠EFA=∠GFA.

又由題可知,∠FAC= ∠BAC,∠FCA= ∠ACB,

∴∠FAC+∠FCA= (∠BAC+∠ACB)=60°,

∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=120°,

∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC,

∴∠CFG=∠CFD=60°,

同(2)可得△FDC≌△FGC(ASA),

∴FD=FG,

∴FE=FD.


【解析】(1)以O(shè)為圓心,OA為半徑畫弧,交ON于點(diǎn)C,連接BC,利用邊角邊即可知道△COB≌△AOB。
(2)根據(jù)題意添加輔助線,在CG上截取CG=CD,根據(jù)角平分線的定義證出∠DCF=∠GCF,從而可證得△CFG≌△CFD,得出DF=GF。要證EF=FD,轉(zhuǎn)化為證EF=GF,因此需證△AFG≌△AFE,根據(jù)圖形及已知還需差一個(gè)條件。根據(jù)已知∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,易證得∠AFC=120°,即可得到∠AFE=∠AFG=60°,繼而可證明△AFG≌△AFE,即可證得結(jié)論。
(3)通過分析,結(jié)論仍然成立,添加輔助線的方法和證明方法同(2)一樣。
【考點(diǎn)精析】掌握角的平分線和三角形的內(nèi)角和外角是解答本題的根本,需要知道從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線,把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線;三角形的三個(gè)內(nèi)角中,只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角;直角三角形的兩個(gè)銳角互余;三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

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