Question

（2013•邯鄲一模）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)為邊BC、CD上的點(diǎn)，且CE=CF，連接AE，AF，∠ABC的平分線交AE于點(diǎn)G，連接CG．
（1）求證：AG=CG；
（2）求證：CG∥AF；
（3）若BG=CG，則△ABE與△BGE是否相似？若相似，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后利用“邊角邊”證明△ABG和△CBG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）連接AC，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠ACE=∠ACF，然后利用“邊角邊”證明△ACE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CAE=∠CAF，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠CAE=∠ACG，然后求出∠ACG=∠CAF，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可得證；
（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAG=∠BCG，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠CBG=∠BCG，然后求出∠BAG=∠CBG，然后利用兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似證明．

解答：（1）證明：在菱形ABCD中，AB=BC，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
在△ABG和△CBG中，

AB=BC ∠ABG=∠CBG BG=BG

，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG；

（2）證明：連接AC，
∵AC是菱形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ACE=∠ACF，
在△ACE和△ACF中，

CE=CF ∠ACE=∠ACF AC=AC

，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴∠CAE=∠CAF，
由（1）知，AG=CG，
∴∠CAE=∠ACG，
∴∠ACG=∠CAF，
∴CG∥AF；

（3）△ABE∽△BGE．
理由如下：由（1）知，△ABG≌△CBG，
∴∠BAG=∠BCG，
∵BG=CG，
∴∠CBG=∠BCG，
∴∠BAG=∠CBG，
又∵∠AEB=∠BEG，
∴△ABE∽△BGE．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似形綜合題型，主要考查了菱形的四條邊都相等，對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，相似三角形的判定，綜合題，但難度不大，熟練掌握全等三角形與相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．