Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中的兩點A（m，0），B（2m，0）（m＞0），二次函數(shù)y=ax2+bx+m的圖象與x軸交與A，B兩點與y軸交于點C，頂點為點D．

（1）當m=1時，直線BC的解析式為 ， 二次函數(shù)y=ax2+bx+m的解析式為；
（2）求二次函數(shù)y=ax2+bx+m的解析式為（用含m的式子表示）；
（3）連接AC、AD、BD，請你探究 的值是否與m有關？若有關，求出它與m的關系；若無關，說明理由；
（4）當m為正整數(shù)時，依次得到點A1 ， A2 ， …，Am的橫坐標分別為1，2，…m；點B1 ， B2 ， …，Bm 的橫坐標分別為2，4，…2m（m≤10）；經(jīng)過點A1 ， B1 ， 點A2 ， B2 ， …，點Am ， Bm的這組拋物線y=ax2+bx+m分別與y軸交于點C1 ， C2 ， …，Cm ， 由此得到了一組直線B1C1 ， B2C2 ， …，BmCm ， 在點B1 ， B2 ， …，Bm 中任取一點Bn ， 以線段OBn為邊向上作正方形OBnEnFn ， 若點En在這組直線中的一條直線上，直接寫出所有滿足條件的點En的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣ x+1,y= x2﹣ x+1
（2）解：y= x2﹣ x+m
（3）解：結論： 的值與m無關．

理由：如圖1中，連接AC、AD、BD，作DE⊥AB于E．

∵y= x2﹣ x+m= （x﹣ m）2﹣ ，

∴D（ m，﹣ ），

∴DE= ，

∵A（m，0），B（2m，0），

∴OA=m，OC=m，

∴S△AOC= m2，

∴ = =8，

∴ 的值與m無關

（4）解：如圖2中，

觀察圖象可知，滿足條件的點E的坐標分別為：E1（2，2），E2（4，4），E3（6，6）

【解析】解：（1）m=1時，A（1，0），B（2，0），C（0，1）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，則有 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+1．

把A（1，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+1，得到 ，解得 ，

∴二次函數(shù)的解析式為y= x2﹣ x+1．

所以答案是y=﹣ x+1，y= x2﹣ x+1．

⑵由已知二次函數(shù)y=ax2+bx+m的圖象的圖象經(jīng)過A、B兩點，得到

，

解得 ，

∴二次函數(shù)的解析式為y= x2﹣ x+m．

所以答案是y= x2﹣ x+m．

【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數(shù)的表達式(確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法)．