Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=﹣ x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把Rt△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（30°＜α＜180°），得到△AO′B′．
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，判斷點(diǎn)B是否在直線O′B′上，并說明理由；
（2）連接OO′，設(shè)OO′與AB交于點(diǎn)D，當(dāng)α為何值時(shí)，四邊形ADO′B′是平行四邊形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解；如圖1中，

∵一次函數(shù)y=﹣ x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，

∴A（ ，0），B（0，1），

∴tan∠BAO= ，

∴∠BAO=30°，AB=2OB=2，

∵旋轉(zhuǎn)角為60°，

∴B′（ ，2 ），O′（ ， ），

設(shè)直線O′B′解析式為y=kx+b，

∴， ，解得 ，

∴直線O′B′的解析式為y= x+1，

∵x=0時(shí)，y=1，

∴點(diǎn)B（0，1）在直線O′B′上

（2）解；如圖2中，當(dāng)α=120°時(shí)，四邊形ADO′B′是平行四邊形．

理由：∵AO=AO′，∠OAO′=120°，∠BAO=30°，

∴∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，

∴AD∥O′B′，DO′∥AB′，

∴四邊形ADO′B′是平行四邊形

【解析】（1）首先證明∠BAO=30°，再求出直線O′B′的解析式即可解決問題．（2）如圖2中，當(dāng)α=120°時(shí)，四邊形ADO′B′是平行四邊形．只要證明∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，即可解決問題．
【考點(diǎn)精析】掌握平行四邊形的判定是解答本題的根本，需要知道兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．