Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E，

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，

∴∠MAE=∠CAE，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 180°=90°，

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，

∴四邊形ADCE為矩形

（2）證明：當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形．

理由：∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠CAD=∠ACD=45°，

∴DC=AD，

∵四邊形ADCE為矩形，

∴矩形ADCE是正方形．

∴當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形

【解析】（1）根據(jù)矩形的有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE=90°，可以證明四邊形ADCE為矩形．（2）根據(jù)正方形的判定，我們可以假設(shè)當(dāng)AD= BC，由已知可得，DC= BC，由（1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．
【考點(diǎn)精析】利用角平分線的性質(zhì)定理和等腰三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）．