Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．

解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為      ，數(shù)量關(guān)系為      ．

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動．

試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）①CF與BD位置關(guān)系是 垂 直、數(shù)量關(guān)系是相 等；

②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．

由正方形ADEF得  AD=AF ，∠DAF=90º．

∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ，  ∴∠DAB=∠FAC，

又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC  ， ∴CF=BD   　　　　

  ∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD

（2）畫圖正確　　　　　　　

當(dāng)∠BCA=45º時(shí)，CF⊥BD（如圖�。�．

 

 理由是：過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，∴AC=AG

可證：△GAD≌△CAF   ∴∠ACF=∠AGD=45º 

∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．   即CF⊥BD

（3）當(dāng)具備∠BCA=45º時(shí)，

過點(diǎn)A作AQ⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)Q，（如圖戊）

∵DE與CF交于點(diǎn)P時(shí)， ∴此時(shí)點(diǎn)D位于線段CQ上，

∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．設(shè)CD=x ，∴  DQ=4—x，

容易說明△AQD∽△DCP，∴ ，  ∴，

．

∵0＜x≤3   ∴當(dāng)x=2時(shí)，CP有最大值1．    

【解析】（1）首先選擇圖2證明，由AB=AC，∠BAC=90°，可得：△ABC是等腰直角三角形，又由四邊形ADEF是正方形，易證得△ABD≌△ACF（SAS），即可求得：CF=BD，∠ACF=∠B=45°，證得CF⊥BD；

（2）過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，可證△GAD≌△CAF，則∠ACF=∠AGD=45º，從而得∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º， 即CF⊥BD。

（3）首先作輔助線：過點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，連接CF，易得：△AGD∽△DCP，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得：AG•CP=GD•DC，在等腰Rt△AGC中求得AC的值，設(shè)GD=x，即可求得CP關(guān)于x的二次函數(shù)，求得最大值．