【題目】定義:至少有一組對邊相等的四邊形為“等對邊四邊形”.

1)請寫出一個你學過的特殊四邊形中是“等對邊四邊形”的名稱;

2)如圖1,四邊形ABCD是“等對邊四邊形”,其中AB=CD,邊BACD的延長線交于點M,點E、F是對角線ACBD的中點,若∠M=60°,求證:EFAB;

3)如圖2.在△ABC中,點D、E分別在邊ACAB上,且滿足∠DBC=ECBA,線段CE、BD交于點.

求證:∠BDC=AEC

請在圖中找到一個“等對邊四邊形”,并給出證明.

【答案】1)如:平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等;(2)證明見解析;(3)①證明見解析;②四邊形EBCD是等對邊四邊形.證明見解析.

【解析】

1)理解等對邊四邊形的圖形的定義,有平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等,可得出答案.

2)取BC的中點N,連結ENFN,由中位線定理可得EN12CDFN12AB,可證明EFN為等邊三角形,則結論得證;

3)①證明∠EOB=∠A,利用四邊形內角和可證明∠BDC=∠AEC;

②作CGBDG點,作BFCECE延長線于F點.根據AAS可證明BCF≌△CBG,則BFCG,證明BEF≌△CDG,可得BECD,則四邊形EBCD等對邊四邊形

1)如:平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等.

2)如圖1,取BC的中點N,連結EN,FN

ENCD,FNAB

EN=FN

∵∠M=60°,

∴∠MBC+MCB=120°

FNABENMC,

∴∠FNC=MBC,∠ENB=MCB,

∴∠ENF=180°120°=60°

∴△EFN為等邊三角形,

EF=FNAB

3)①證明:∵∠BOE=BCE+DBC,∠DBC=ECBA,

∴∠BOE=2DBC=A

∵∠A+AEC+ADB+EOD=360°,∠BOE+EOD=180°,

∴∠AEC+ADB=180°

∵∠ADB+BDC=180°

∴∠BDC=AEC;

②解:此時存在等對邊四邊形,是四邊形EBCD

如圖2,作CGBDG點,作BFCECE延長線于F點.

∵∠DBC=ECBABC=CB,∠BFC=BGC=90°

∴△BCF≌△CBG(AAS),

BF=CG

∵∠BEF=ABD+DBC+ECB,∠BDC=ABD+A

∴∠BEF=BDC,

∴△BEF≌△CDG(AAS)

BE=CD,

∴四邊形EBCD是等對邊四邊形.

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