【題目】如圖,OA,OB是⊙O的兩條半徑,OA⊥OB,C是半徑OB上一動點,連結(jié)AC并延長交⊙O于D,過點D作圓的切線交OB的延長線于E,已知OA=8.
(1)求證:∠ECD=∠EDC;
(2)若tanA=,求DE長;
(3)當(dāng)∠A從15°增大到30°的過程中,求弦AD在圓內(nèi)掃過的面積.
【答案】(1)證明見解析;
(2)DE的長為15;
(3)弦AD在圓內(nèi)掃過的面積為
【解析】試題分析:(1)連結(jié)OD,已知DE是⊙O的切線,根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠EDC+∠ODA=90°,已知 OA⊥OB,可得∠ACO+∠A=90°,因OA=OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ODA=∠A,即可得∠EDC=∠ACO,因∠ECD=∠ACO,即可得∠ECD=∠EDC.(2)因為tanA=,即可得,求得OC=2, 設(shè)DE=x,可得CE=x,所以OE=2+x,在Rt△ODE中,根據(jù)勾股定理可得OD2+DE2=OE2, 即可得82+x 2=(2+x)2,解得x=15,所以DE=CE=15. (3)過點D作AO的垂線,交AO的延長于F,當(dāng)時, ,DF=4,求得的面積,當(dāng)時, ,DF=4,求得,即可求得弦AD在圓內(nèi)掃過的面積.
試題解析:
(1)證明:連結(jié)OD,
∵DE是⊙O的切線,∴∠EDC+∠ODA=900,
又∵OA⊥OB,∴∠ACO+∠A=900,
∵OA=OD,∴∠ODA=∠A,∴∠EDC=∠ACO,
又∵∠ECD=∠ACO,∴∠ECD=∠EDC.
(2)解:∵tanA=,∴,∴OC=2,
設(shè)DE=x,∵∠ECD=∠EDC,∴CE=x,∴OE=2+x.
∴∠ODE=900,∴OD2+DE2=OE2,
∴82+x 2=(2+x)2,x=15,∴DE=CE=15.
(3)解:過點D作AO的垂線,交AO的延長于F,
當(dāng)時, ,DF=4,
當(dāng)時, ,DF=4,
,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是由邊長為1的小正方形組成的10×5網(wǎng)格,每個小正方形的頂點叫做格點,點A,B,C,D均在格點上,在網(wǎng)格中將點B按下列步驟移動第一步:點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到點B1;第二步:點B1繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點B2;第三步:點B2繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°回到點B
(1)請用圓規(guī)畫出點B→B1→B2→B經(jīng)過的路徑;
(2)所畫圖形是_______圖形;
(3)求所畫圖形的周長(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為宣傳6月6日世界海洋日,某校八年級舉行了主題為“珍惜海洋資源,保護(hù)海洋生物多樣性”的知識競賽活動.為了解全年級500名學(xué)生此次競賽成績(百分制)的情況,隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績,整理并繪制出如下不完整的統(tǒng)計表(表1)和統(tǒng)計圖(如圖).請根據(jù)圖表信息解答以下問題:
(1)本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了個參賽學(xué)生的成績;
(2)表1中a= ;
(3)所抽取的參賽學(xué)生的成績的中位數(shù)落在的“組別”是 ;
(4)請你估計,該校九年級競賽成績達(dá)到90分以上(含90分)的學(xué)生約有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某蔬菜店第一次用400元購進(jìn)某種蔬菜,由于銷售狀況良好,該店又用700元第二次購進(jìn)該品種蔬菜,所購數(shù)量是第一次購進(jìn)數(shù)量的2倍,但進(jìn)貨價每千克少了0.5元.
(1)第一次所購該蔬菜的進(jìn)貨價是每千克多少元?
(2)蔬菜店在銷售中,如果兩次售價均相同,第一次購進(jìn)的蔬菜有2% 的損耗,第二次購進(jìn)的蔬菜有3% 的損耗,若該蔬菜店售完這些蔬菜獲利不低于944元,則該蔬菜每千克售價至少為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以四邊形的邊、、、為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形,直角頂點分別為、、、,順次連結(jié)這四個點,得四邊形.
(1)如圖1,當(dāng)四邊形為矩形時,請判斷四邊形的形狀(不要求證明).
(2)如圖2,當(dāng)四邊形為一般平行四邊形時,設(shè)
①試用含的代數(shù)式表示,寫出解答過程;
②求證:,并判斷四邊形是什么四邊形?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組,利用樹影測量樹高,如圖(1),已測出樹AB的影長AC為12米,并測出此時太陽光線與地面成30°夾角.
(1)求出樹高AB;
(2)因水土流失,此時樹AB沿太陽光線方向倒下,在傾倒過程中,樹影長度發(fā)生了變化,假設(shè)太陽光線與地面夾角保持不變.求樹的最大影長.(用圖(2)解答)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一只不透明的袋子中裝有個大小、質(zhì)地都相同的乒乓球,球面上分別標(biāo)有數(shù)字、、、,攪勻后先從中摸出一個球(不放回),再從余下的個球中摸出個球.
(1)用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)求次摸出的乒乓球球面上數(shù)字的積為偶數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知y是x的一次函數(shù),當(dāng)x=1時,y=1;當(dāng)x=-2時,y=-14.
(1)求這個一次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖像;
(3)由圖像觀察,當(dāng)0≤x≤2時,函數(shù)y的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BE是O的直徑,點A和點D是⊙O上的兩點,過點A作⊙O的切線交BE延長線于點.
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度數(shù);
(2)若AB=AC,CE=2,求⊙O半徑的長.
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