Question

如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為C（1，-2）.

（1)求此函數(shù)的關(guān)系式；
（2)作點(diǎn)C關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)D，順次連接A、C、B、D.若在拋物線上存在點(diǎn)E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得△PEF是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及△PEF的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

；E(3，2) ；3

試題分析：1）∵的頂點(diǎn)為C（1，-2），
∴，．                 2
2）設(shè)直線PE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．由題意，四邊形ACBD是菱形.
故直線PE必過菱形ACBD的對(duì)稱中心M．            1
由P(0，-1)，M（1，0），得．從而，          2
設(shè)E(，)，代入，得．
解之得，，根據(jù)題意，得點(diǎn)E(3，2)             2
3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，可設(shè)F(，)．過點(diǎn)F作FG⊥軸，垂足為點(diǎn)G.
在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.
∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．

解得，，根據(jù)題意，
得F(1，-2)．
故點(diǎn)F(1，-2)即為所求．       

點(diǎn)評(píng)：解答本題的的關(guān)鍵是熟練掌握有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似.