Question

【題目】如圖所示．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過(guò)點(diǎn)C任作一直線PQ，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BNPQ于點(diǎn)N．

（1）如圖①，當(dāng)M、N在△ABC的外部時(shí)，MN、AM、BN有什么關(guān)系呢？為什么？

（2）如圖②，當(dāng)M、N在△ABC的內(nèi)部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)指出MN與AM、BN之間的數(shù)關(guān)系并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）MN=AM+BN，理由見(jiàn)解析；

（2）（1）中的結(jié)論不成立，MN與AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系為MN=AM-BN．理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先證明∠MAC=∠NCB，根據(jù)“AAS”證明△ACM≌△CBN，得出AM=CN，CM=BN，則MN=MC+CN=AM+BN；
（2）與（1）證明方法一樣可得到△ACM≌△CBN，得出AM=CN，CM=BN，故MN=CN-CM=AM-BN．

（1）MN=AM+BN，理由是：

∵AM⊥PQ于M，過(guò)B作BN⊥PQ于N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中

∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=MC+CN=AM+BN；

即MN=AM+BN；

（2）（1）中的結(jié)論不成立，MN與AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系為MN=AM-BN．理由如下：
∵AM⊥PQ于M，過(guò)B作BN⊥PQ于N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中

∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=CN-CM=AM-BN．