Question

【題目】已知：二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，且圖象向右平移一個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)直線(xiàn)交y軸于D點(diǎn)，E為拋物線(xiàn)頂點(diǎn).若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值.

(3)在(2)問(wèn)的前提下，P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足PA=PC，在y軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M，使得△BDM的面積等于PA2若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）這個(gè)二次函數(shù)的解析式為；

（2）α-β=45°

（3）綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)M其坐標(biāo)為或.

【解析】分析： (1)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，將它們代入拋物線(xiàn)的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組求得待定系數(shù)的值，即可確定該拋物線(xiàn)的解析式；

(2)根據(jù)拋物線(xiàn)和直線(xiàn)BD的解析式，可求得C、D、E的坐標(biāo)，即可得到∠OBC=∠OCB=45 °；所求角的度數(shù)差可轉(zhuǎn)化為∠OBC的度數(shù)；在Rt△OBC中，已經(jīng)求得∠OBC=∠OCB=45 °，由此得解；

(3)易知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程，可設(shè)出點(diǎn)P的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到PA的值，即可求得△BDM的面積．可用面積割補(bǔ)法求解.

本題解析：

(1)由題意，A(-1,0)

對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1

∴B(3,0)

把A(-1,0)，B(3,0)分別代入y=ax-2x+c得

解得

∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x-2x-3

(2) ∵直線(xiàn) 與y軸交于D(0,1), ∴OD=1

由Y=X-2X-3=(x-1)-4得E91，-4）

連接CE過(guò)E作EF⊥y軸于F(如圖1)，則EF=1

∵拋物線(xiàn)y=x-2x-3與y軸交于C90，-3

∴OC=OB=3，CF=1=EF

(如圖1)

∴∠OBC=∠OCB=∠FCE=45°,

BC=,CE=

∴∠BCE=90°=∠BOD, ,

∴

∴△BOD∽△BCE

∴∠CBF=∠DBO

∴

(3)設(shè)P(1，n)

∵PA=PC

∴PA=PC, 即(1+1)+(n-0)=(1+0)+(n+3)

解得n=-1

∴PA=(1+1)+(-1-0)=5

∴

方法一：設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,m-2m-3),則m>0

①當(dāng)M在直線(xiàn)BD上側(cè)時(shí)，連接OM(如圖1)，

則

即

整理，得

解得 (舍去)，

把代入 得

∴

②當(dāng)M在直線(xiàn)BD下側(cè)時(shí)，不妨叫連接 (如圖1)，

則

即

整理，得

解得 (舍去)

把m=2代入 得y=-3

∴

綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)M其坐標(biāo)為或(2,-3).

方法二：設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，則m>0

①當(dāng)M在直線(xiàn)BD上側(cè)時(shí)，過(guò)M作MG∥y軸，交DB于G(如圖2)

設(shè)D、B到MG距離分別為則

即 , ,

整理，得

解得 (舍去)，

把代入y=m-2m-3得y=

∴M()

②當(dāng)M在直線(xiàn)BD下側(cè)時(shí)，不妨叫過(guò)作∥y軸，交DB于 (如圖2)

設(shè)D、B到距離分別為則

即

整理，得3m-5m-2=0

解得 (舍去)

把m=2代入y=m-2m-3得y=-3

∴

綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)M其坐標(biāo)為或(2,-3)

方法三：①當(dāng)M在直線(xiàn)BD上側(cè)時(shí)，過(guò)M作MH∥BD交y軸于H,連接BH(如圖3)

則,即

∴DH=

∴H(0, )

∴直線(xiàn)BH解析式為y=

聯(lián)立 得 或

M在y軸右側(cè), ∴M坐標(biāo)為

②當(dāng)M在直線(xiàn)BD下側(cè)時(shí)，不妨叫 過(guò)作∥BD，交y軸于,

連接B (如圖3)，同理可得D=

∴ (0, )

∴直線(xiàn) 解析式為

聯(lián)立得或

∵在y軸右側(cè)，∴坐標(biāo)為(2,-3)

綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為或(2,-3).