【題目】如圖,拋物線 與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,連結(jié)AB.點(diǎn)C 在拋物線上,直線AC與y軸交于點(diǎn)D.
(1)求c的值及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P在x軸的正半軸上,點(diǎn)Q在y軸正半軸上,連結(jié)PQ與直線AC交于點(diǎn)M,連結(jié)MO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N,若M為PQ的中點(diǎn).
①求證:△APM∽△AON;
②設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m , 求AN的長(zhǎng)(用含m的代數(shù)式表示).
【答案】
(1)
解:把點(diǎn)C(6,)代入拋物線得:=9++c.
解得c=-3.
當(dāng)y=0時(shí),x2+x-3=0.
解得:x1=-4,x2=3.
∴A(-4,0).
設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為:y=kx+b(k≠0).
把A(-4,0),C(6, )代入得:
解得:
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為:y=x+3.
(2)
①證明:∵在Rt△AOB中,tan∠OAB==.
在Rt△AOB中,tan∠OAD==.
∴∠OAB=∠OAD.
∵在Rt△POQ中,M為PQ中點(diǎn).
∴OM=MP.
∴∠MOP=∠MPO.
又 ∵∠MOP=∠AON.
∴∠APM=∠AON.
∴△APM∽△AON.
②解:如下圖,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E.
∵OM=MP.
∴OE=EP.
又∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.
∴AE=m+4,AP=2m+4.
∵tan∠OAD=.
∴cos∠EAM=cos∠OAD=.
∴AM=AE=.
∵△APM∽△AON.
∴=.
∴AN==.
【解析】(1)把點(diǎn)C(6,)代入拋物線求出c的值,令y=0求出A點(diǎn)坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式.
(2)①在Rt△AOB中,tan∠OAB==. 在Rt△AOB中,tan∠OAD==.從而得出∠OAB=∠OAD;在Rt△POQ中,M為PQ中點(diǎn)得出OM=MP.∠APM=∠AON;從而證明△APM∽△AON.
②如上圖,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E;由OM=MP.得出OE=EP;點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m;得出AE=m+4,AP=2m+4.
根據(jù)tan∠OAD=.求出cos∠EAM=cos∠OAD=;再根據(jù)△APM∽△AON;得出AN==.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識(shí),掌握確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法,以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解,了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題背景:已知在△ABC中,邊AB上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A,B不重合),同時(shí)點(diǎn)E由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合),連接DE交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn),求 的值.
(1)初步嘗試
如圖(1),若△ABC是等邊三角形,DH⊥AC,且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)速度相等,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G,先證GH=AH,再證GF=CF,
從而求得 的值為 .
(2)類(lèi)比探究
如圖(2),若△ABC中,∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度之比是 :1,求 的值.
(3)延伸拓展
如圖(3)若在△ABC中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36°,記 =m,且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)速度相等,試用含m的代數(shù)式表示 的值(直接寫(xiě)出果,不必寫(xiě)解答過(guò)程).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】班長(zhǎng)調(diào)查了三班近 10 天的數(shù)學(xué)課堂小測(cè)驗(yàn),在這 10 天,小測(cè)驗(yàn)的不及格人數(shù)為(單位:個(gè))0,2,0, 3,1,1,0,2,5,1.在這 10 天中小測(cè)驗(yàn)不及格的人數(shù)( )
A. 中位數(shù)為 1.5 B. 方差為 1.5 C. 極差為 1.5 D. 標(biāo)準(zhǔn)差為 1.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是用繩索織成的一片網(wǎng)的一部分,小明探索這片網(wǎng)的結(jié)點(diǎn)數(shù)(V),網(wǎng)眼數(shù)(F),邊數(shù)(E)之間的關(guān)系,他采用由特殊到一般的方法進(jìn)行探索,列表如下:
特殊網(wǎng)圖 | ||||
結(jié)點(diǎn)數(shù)(V) | 4 | 6 | 9 | 12 |
網(wǎng)眼數(shù)(F) | 1 | 2 | 4 | 6 |
邊數(shù)(E) | 4 | 7 | 12 | ☆ |
表中“☆”處應(yīng)填的數(shù)字為_____;根據(jù)上述探索過(guò)程,可以猜想V,F,E之間滿足的等量關(guān)系為_____;
如圖2,若網(wǎng)眼形狀為六邊形,則V,F,E之間滿足的等量關(guān)系為___ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線EF、CD相交于點(diǎn)O,OA⊥OB,OC平分∠AOF.
(1)若∠AOE=40°,求∠BOD的度數(shù);
(2)若∠AOE=30°,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BOD的度數(shù);
(3)觀察(1)(2)的結(jié)果,猜想∠AOE和∠BOD的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形 中, , , 是 的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn) 作 ,垂足為 .將 沿點(diǎn) 到點(diǎn) 的方向平移,得到 .設(shè) 、 分別是 、 的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合時(shí),四邊形 的面積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在 中, , 軸,垂足為 .反比例函數(shù) ( )的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,交 于點(diǎn) .已知 , .
(1)若 ,求 的值;
(2)連接 ,若 ,求 的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰中,=90°,于,的平分線分別交、于、兩點(diǎn),為的中點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接.下列結(jié)論:① ;② ;③ ;④;上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】探究題:
(1)如圖1,兩條水平的直線被一條豎直的直線所截,同位角有__________對(duì),內(nèi)錯(cuò)角有__________對(duì),同旁內(nèi)角有__________對(duì);
(2)如圖2,三條水平的直線被一條豎直的直線所截,同位角有__________對(duì),內(nèi)錯(cuò)角有__________對(duì),同旁內(nèi)角有__________對(duì);
(3)根據(jù)以上探究的結(jié)果,n(n為大于1的整數(shù))條水平直線被一條豎直直線所截,同位角有__________對(duì),內(nèi)錯(cuò)角有__________對(duì),同旁內(nèi)角有__________對(duì).(用含n的式子表示)
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