【題目】已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合),以AD為邊作正方形ADEF,連接CF.
(1)觀察猜想
如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時可以證明△ABD≌△ACF,則
①BC與CF的位置關(guān)系為: ;
②BC,DC,CF之間的數(shù)量關(guān)系為: ;
(2)類比探究
如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時,其他條件不變,(1)中①,②結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明;
(3)拓展延伸
如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時,且點(diǎn)A,F分別在直線BC的兩側(cè),其他條件不變.
①BC,DC,CF之間的數(shù)量關(guān)系為:
②若正方形ADEF的邊長為2,對角線AE,DF相交于點(diǎn)O,連接OC,則OC的長度為 .
【答案】(1)①BC⊥CF;②BC=DC+CF;(2)①成立,②不成立,結(jié)論②應(yīng)改為BC=CF-DC,理由詳見解析;(3)①BC=DC-CF;②
【解析】
(1)①根據(jù)SAS證明△ABD≌△ACF,可得∠ABC=∠ACF=45°,則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,所以BC⊥CF;
②由△ABD≌△ACF的性質(zhì)和線段的和可得結(jié)論;
(2)①成立,證明∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠BAD=∠CAF,同理證明△ABD≌△ACF,可得BC⊥CF,
②不成立,由BD=BC+CD,BD=CF,可得新的結(jié)論:BC=CFDC;
(3)①根據(jù)圖3知:DC最長,同理:△DAB≌△FAC,則BD=CF,可得BC=DCCF;
②先根據(jù)正方形的邊長求對角線DF的長,證明∠DCF=90°,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得OC的長.
(1)①BC⊥CF,理由是:
如圖1,∵四邊形ADEF是正方形,
∴∠DAF=90°,AD=AF,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAF,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
∵,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ABC=∠ACF=45°,
∵∠ACB=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
∴BC⊥CF;
②BC=DC+CF,
理由是:由①知:△ABD≌△ACF,
∴BD=CF,
∴BC=BD+CD=CF+CD;
故答案為:①BC⊥CF,②BC=CF+CD;
(2)①成立,②不成立,結(jié)論②應(yīng)改為BC=CFDC;
證明:如圖2,在正方形ADEF中,
AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠BAD=∠CAF,
∵∠ABC=45°,
∴∠ACB=180°∠BAC∠ABC=45°,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
在△ABD與△ACF中,,
∴△ABD≌△ACF,
∴∠ACF=∠ABD=45°,BD=CF,
∵∠ACB=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
∴BC⊥CF;
∵BD=BC+CD,BD=CF,
∴BC=CFDC;
(3)①BC=DCCF,
理由是:如圖3,同理得:∠DAB=∠FAC,
易證得:△DAB≌△FAC,
∴BD=CF,
∴DC=BD+BC=CF+BC,
∴BC=DCCF;
②正方形ADEF中,邊長EF=2
∴DF=2
∵∠ABC=45°
∴∠ABD=135°
∵△DAB≌△FAC
∴∠ACF=∠ABD=135°
∵∠ACB=45°
∴∠DCF=90°
∵四邊形ADEF是正方形
∴OD=OF
∴OC=DF=.
故答案為:①BC=DCCF,②.
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【題目】如圖四邊形ABCD和四邊形OEFG都是正方形,點(diǎn)O是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn),已知AB=2,EF=3,正方形OEFG繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動,OE交BC上一點(diǎn)N,OG交CD上一點(diǎn)M.求四邊形OMCN的面積.
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【題目】如圖顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果.
下面有三個推斷:
①當(dāng)投擲次數(shù)是500時,計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,所以“釘尖向上”的概率是0.616;
②隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加,“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動,顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618;
③若再次用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn),則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時,“釘尖向上”的概率一定是0.620.
其中合理的是( )
A. ① B. ② C. ①② D. ①③
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C(0,3),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).點(diǎn)P是拋物線上一個動點(diǎn),且在直線BC的上方.
(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,四邊形 ABPC的面積最大,并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+a-2=0.
(1)如果該方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)如果該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,求出這兩個根.
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【題目】某校九年級共500名學(xué)生參加法律知識測試,從中隨機(jī)抽取一部分試卷成績(得分取整數(shù))為樣本作統(tǒng)計(jì)分析,進(jìn)行整理后分成五組,并繪制成頻數(shù)分布直方圖(見圖)請結(jié)合直方圖提供的信息,解答以下問題:
(1)隨機(jī)抽取了多少名學(xué)生的測試成績?
(2)70.5~80.5這一分?jǐn)?shù)段的頻率是多少?
(3)若90分以上(不含90分)定為優(yōu)秀,樣本中的優(yōu)秀率是多少?
(4)請估計(jì)出該校九年級這次法律知識測試獲得優(yōu)秀的大約有多少人?
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,F為弦AC的中點(diǎn),連接OF并延長交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線,交BA的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:AC∥DE;
(2)連接CD,若OA=AE=1,求四邊形ACDE面積.
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【題目】完成下面推理過程:
如圖,已知∠B+∠BCD=180°,∠B=∠D.求證:∠E=∠DFE.
證明:∵∠B+∠BCD=180°,
∴AB∥ ( )
∴∠B=∠DCE( )
又∵∠B=∠D,
∴∠DCE=∠D( )
∴ ∥ ( )
∴∠E=∠DFE( )
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(1)求加固后壩底增加的寬度AF的長;
(2)求完成這項(xiàng)工程需要土石多少立方米?
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