Question

如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，現(xiàn)有兩個(gè)動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以2cm/s的速度，沿AB向終點(diǎn)B移動；點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止．連接PQ．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為x秒．
（1）用含x的代數(shù)式表示BQ、PB的長度；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于20cm²？若存在，請求出此時(shí)x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先運(yùn)用勾股定理求出AB邊的長度，然后根據(jù)路程=速度×?xí)r間，分別表示出BQ、PB的長度；
（2）由于∠B=90°，如果△PBQ為等腰三角形，那么只有一種情況，即BP=BQ，由（1）的結(jié)果，可列出方程，從而求出x的值；
（3）根據(jù)四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積，列出方程，根據(jù)解的情況即可判斷．

解答：解：（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8．
∴BQ=x，PB=8-2x；

（2）由題意，得
8-2x=x，
∴x=

8

3

．
∴當(dāng)x=

8

3

時(shí)，△PBQ為等腰三角形；

（3）假設(shè)存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于20cm²，
則

1

2

×6×8-

1

2

x(8-2x)=20，
解得x₁=x₂=2．
假設(shè)成立，所以當(dāng)x=2時(shí)，四邊形APQC面積的面積等于20cm²．

點(diǎn)評：本題借助動點(diǎn)問題考查了勾股定理，路程與速度、時(shí)間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)以及不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，綜合性較強(qiáng)．