Question

如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D為上一點(diǎn)，AC、BD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連接AD，作CF∥AD交⊙O于點(diǎn)F，連接BF交AD于點(diǎn)G．
（1）試判斷△GBD的形狀，并加以證明；
（2）若AB=，DE=2，求DG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)圓周角定理及平行線的性質(zhì)可得到∠GBD=∠ABC=60°，又因?yàn)椤螦DB=∠ACB=60°所以得到△GBD是等邊三角形；
先證明△ABG∽△EBC，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例所以BE•BG=AB•BC，解得BG的值，因?yàn)锽G=GD，所以DG的長(zhǎng)也就求得了．
解答：解：（1）△GBD為等邊三角形．（1分）
證明：如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵CF∥AD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠4．
∴∠GBD=∠ABC=60°．
又∵∠ADB=∠ACB=60°，
△GBD為等邊三角形．（6分）

（2）∵△GBD與△ABC為等邊三角形，
∴∠AGB=∠BCE=120°．
又∵∠1=∠4，
∴△ABG∽△EBC．
∴．（8分）
即BE•BG=AB•BC，
設(shè)BG=GD=x，則BE=x+2，
∴（x+2）x=•．（10分）
解得x₁=3，x₂=-5（不合題意，舍去），
答：DG的長(zhǎng)為3．（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)等邊三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．