精英家教網(wǎng)已知:如圖,等邊三角形AOB的頂點A在反比例函數(shù)y=
3
x
(x>0)的圖象上,點B在x軸上.
(1)求點B的坐標;
(2)求直線AB的函數(shù)表示式;
(3)在y軸上是否存在點P,使△OAP是等腰三角形?若存在,直接把符合條件的點P的坐標都寫出來;若不存在,請說明理由.
分析:(1)設(shè)出OB的長,然后根據(jù)等邊三角形的特點用OB的長表示出△OAB的面積,根據(jù)反比例函數(shù)的解析式知,△OAB的面積為
3
,聯(lián)立其面積表達式即可求得OB的長,從而確定點B的坐標.
(2)已知等邊三角形的邊長,易求得A點的坐標,然后用待定系數(shù)法求解即可.
(3)首先設(shè)出P點的坐標,然后分別表示出OP2、OA2、AP2,分三種情況討論:
①OP=OA,②OP=AP,③OA=AP,根據(jù)三種情況下所能列出的不同等量關(guān)系式,可求得符合題意的點P坐標.
解答:解:(1)根據(jù)題意得,△OAB的面積為
3
;(1分)
設(shè)OB=a,S△OAB=
3
4
a2
=
3
,(2分)
∴OB=2,∴B(2,0).(3分)

(2)易知A(1,
3
),(4分)
把A(1,
3
),B(2,0),代入y=kx+b得
k+b=
3
2k+b=0
,(5分)
解得,k=-
3
,b=2
3

∴y=-
3
x+2
3
.(6分)

(3)符合條件的點P有:
(0,2
3
)(0,2)(0,-2)(0,
2
3
3
).(9分)
(1-2個點(1分),3個點(2分),4個3分)
理由:設(shè)點P(0,y),已知A(1,
3
),O(0,0);
則AP2=1+(y-
3
2,OP2=y2,OA2=4;
①當OP=AP時,OP2=AP2,即:
y2=1+(y-
3
2,解得y=
2
3
3
,
∴P(0,
2
3
3
);
②當AP=OA時,AP2=OA2,即:
1+(y-
3
2=4,整理得:y2-2
3
y=0,
解得y=0(舍去),y=2
3
,
∴P(0,2
3
);
③當OP=OA時,OP2=OA2,即:
y2=4,解得y=±2,
∴P(0,2)或(0,-2);
綜上可知:符合條件的P點有四個,且坐標為:P(0,2
3
)(0,2)(0,-2)(0,
2
3
3
).
點評:此題考查的知識點有:等邊三角形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法以及等腰三角形的構(gòu)成情況等知識,要注意(3)題要根據(jù)等腰三角形不同的腰和底分類討論,以免漏解.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

學習《圖形的相似》后,我們可以借助探索兩個直角三角形全等的條件所獲得經(jīng)驗,繼續(xù)探索兩個直角三角形相似的條件.
(1)“對與兩個直角三角形,滿足一邊一銳角對應(yīng)相等,或兩直角邊對應(yīng)相等,兩個直角三角形全等”.精英家教網(wǎng)類似地你可以得到:“滿足
 
,或
 
,兩個直角三角形相似”.
(2)“滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”,類似地你可以得到“滿足
 
的兩個直角三角形相似”.
請結(jié)合下列所給圖形,寫出已知,并完成說理過程.
已知:如圖,
 

試說明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

學習《圖形的相似》后,我們可以探索兩個直角三角形全等的條件所獲得的經(jīng)驗,繼續(xù)探索兩個直角三角形相似的條件.

(1)“對于兩個直角三角形,滿足一邊一銳角對應(yīng)相等,或兩直角邊對應(yīng)相等,兩個直角三角形全等”,類似地,你可以得到“滿足_____,或_____,兩個直角三角形相似”;
(2)“滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”,類似地,你可以得到滿足_____兩個直角三角形相似”.請結(jié)合下列所給圖形,寫出已知,并完成說理過程.
已知:如圖,_____.試說明Rt△ABC∽Rt△A/B/C/.

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科目:初中數(shù)學 來源:2010年高級中等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學卷(江蘇南京) 題型:解答題

學習《圖形的相似》后,我們可以探索兩個直角三角形全等的條件所獲得的經(jīng)驗,繼續(xù)探索兩個直角三角形相似的條件.

(1)“對于兩個直角三角形,滿足一邊一銳角對應(yīng)相等,或兩直角邊對應(yīng)相等,兩個直角三角形全等”,類似地,你可以得到“滿足_____,或_____,兩個直角三角形相似”;
(2)“滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”,類似地,你可以得到滿足_____兩個直角三角形相似”.請結(jié)合下列所給圖形,寫出已知,并完成說理過程.
已知:如圖,_____.試說明Rt△ABC∽Rt△A/B/C/.

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科目:初中數(shù)學 來源:2010-2011學年北京市考數(shù)學一模試卷 題型:選擇題

已知:如圖,在等邊三角形ABC中,M、N分別是AB、AC的中點,D是MN上任意一點,CD、BD的延長線分別與AB、AC交于F、E,若 ,則等邊三角

 

形ABC的邊長為

 

A.         B.              C.               D.1

 

 

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知:如圖,在等邊三角形ABC中,M、N分別是AB、AC的中點,D是MN上任意一點,CD、BD的延長線分別與AB、AC交于F、E,若 ,則等邊三角

 

形ABC的邊長為

 

A.         B.              C.              D.1

 

 

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