如圖,拋物線y=mx2-2mx-3m(m>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)是否存在以BM為斜邊的Rt△BCM的拋物線?若存在,請(qǐng)求出拋物線的解析式;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,若拋物線上有一點(diǎn)P,連接PC交線段BM于Q點(diǎn),且S△BPQ=S△CMQ,請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(1)令y=0,則mx2-2mx-3m=0,
即x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
所以,點(diǎn)A(-1,0),B(3,0);

(2)令x=0,則y=-3m,
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,-3m),
∵y=mx2-2mx-3m=m(x-1)2-4m,
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,-4m),
∴BC2=32+(3m)2=9+9m2,BM2=(3-1)2+(4m)2=4+16m2,MC2=12+[(-3m-(-4m)]2=1+m2,
∵Rt△BCM以BM為斜邊,
∴BC2+MC2=BM2,
即9+9m2+1+m2=4+16m2,
整理得,m2=1,
解得m=±1,
∵m>0,
∴m=1,
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3;

(3)在(2)的條件下,點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,-3),M(1,-4),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

解得,
所以直線BC的解析式為y=x-3,
∵S△BPQ=S△CMQ,
∴S△BPQ+S△BCQ=S△CMQ+S△BCQ
即S△BPC=S△BMC,
∴點(diǎn)P到BC的距離等于點(diǎn)M到BC的距離,
∴MP∥BC,
設(shè)MP的解析式為y=x+c,
則1+c=-4,
解得c=-5,
所以,直線MP的解析式為y=x-5,
聯(lián)立,
解得(為點(diǎn)M坐標(biāo)),,
所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-3).
分析:(1)令y=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及頂點(diǎn)M的坐標(biāo),然后根據(jù)勾股定理列式求出BC2,BM2,MC2,然后在Rt△BMC中,利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可求出m的值,從而得到拋物線解析式;
(3)根據(jù)m的值確定出點(diǎn)C、M的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BC的解析式,然后根據(jù)S△BPQ=S△CMQ時(shí)則S△BPC=S△BMC,利用等底同高的三角形的面積相等可知此時(shí)MP∥BC,然后根據(jù)互相平行的兩直線的解析式的k值相等以及點(diǎn)M的坐標(biāo)求出直線MP的解析式,聯(lián)立拋物線解析式求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解,勾股定理的應(yīng)用,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,同底等高的三角形的面積相等,平行直線的解析式的k值相等,聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題,(3)利用過(guò)點(diǎn)M與BC平行的直線聯(lián)立拋物線解析式求解是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=-x2+mx過(guò)點(diǎn)A(4,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),Q是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求m的值;
(2)點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作PH⊥x軸,H為垂足.有一個(gè)同學(xué)說(shuō):“在x軸上方拋物線上的所有點(diǎn)中,拋物線的頂點(diǎn)Q與x軸相距最遠(yuǎn),所以當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)Q時(shí),折線P-H-O的長(zhǎng)度最長(zhǎng)”,請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)判斷:這個(gè)同學(xué)的說(shuō)法是否正確.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:如圖,拋物線y=-
3
3
x2+mx+
3
與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)
(1)求m的值和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)過(guò)A、B、C的三點(diǎn)的⊙M交y軸于另一點(diǎn)D,設(shè)P為弧CBD上的動(dòng)點(diǎn)P(P不與C、D重合),連接AP交y軸于點(diǎn)H,問(wèn)是否存在一個(gè)常數(shù)k,始終滿足AH•AP=k?如果存在,請(qǐng)求出常數(shù)k;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)連接DM并延長(zhǎng)交BC于N,交⊙M于點(diǎn)E,過(guò)E點(diǎn)的⊙M的切線分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、G,試探究BC與FG的位置關(guān)系,并求直線FG的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,拋物線y=
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x2+mx+n交x軸于A、B兩點(diǎn),直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與這條拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)M(1,2),且點(diǎn)M與拋物線的頂點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).
(1)求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)圖象,寫(xiě)出函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時(shí),自變量x的取值范圍;
(3)設(shè)題中的拋物線與直線的另一交點(diǎn)為C,已知P(x,y)為直線AC上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)Q.當(dāng)-1≤x≤1.5時(shí),求線段PQ的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•海滄區(qū)質(zhì)檢)如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸的右交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)D在矩形OABC的邊BC上,當(dāng)y≤0時(shí),x的取值范圍是1≤x≤5.
(1)求b,c的值;
(2)直線y=mx+n經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)D,該直線在矩形OABC內(nèi)部分割出的三角形的面積記為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量m的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,0)、B(6,-6)和原點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)B的直線y=mx+n與拋物線相交于點(diǎn)C(2,y).過(guò)點(diǎn)C作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)D,在拋物線對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)位于直線DC下方的拋物線上,任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線PF平行于y軸,交直線DC于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)F.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求△OBC的面積;
(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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