Question

（2010•海滄區(qū)質(zhì)檢）如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸的右交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)D在矩形OABC的邊BC上，當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍是1≤x≤5．
（1）求b，c的值；
（2）直線y=mx+n經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)D，該直線在矩形OABC內(nèi)部分割出的三角形的面積記為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=x²+bx+c當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍是1≤x≤5求得拋物線與x軸交于（1，0），（5，0），利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）首先利用配方法求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出線段BD、AB、AE及BE的長，利用三角形的面積計(jì)算方法即可求得S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍是1≤x≤5．
∴拋物線與x軸交于（1，0），（5，0）
∴

1+b+c=0 25+5b+c=0

解得：b=-6  c=5；

（2）∵b=-6 c=5，
∴拋物線的解析式為y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-4），
∵直線y=mx+n經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)D，
∴3m+n=-4，
即：n=-3m-4，
∴直線y=mx+n的解析式為y=mx-3m-4，
設(shè)直線DE與AB交于點(diǎn)E，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，2m-4），
∴BD=2  AB=4   AE=4-2m BE=2m，
∴S=

1

2

BD•BE=±2m，
∵點(diǎn)E的縱坐標(biāo)-5＜2m-4＜0
解得：-

1

2

＜m＜2且m≠0
∴自變量的取值范圍為：-

1

2

＜m＜2且m≠0，

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，解題的關(guān)鍵是正確的將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長，體現(xiàn)了代數(shù)知識與幾何知識的融會貫通．