Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，0）、B（6，-6）和原點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B的直線y=mx+n與拋物線相交于點(diǎn)C（2，y）．過(guò)點(diǎn)C作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)D，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)位于直線DC下方的拋物線上，任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線PF平行于y軸，交直線DC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△OBC的面積；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B以及原點(diǎn)O的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）把點(diǎn)C代入拋物線解析式求出y，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BC的解析式，設(shè)BC與x軸相交于點(diǎn)G，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△OBC=S_△OBG+S_△OCG，列式求解即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)表示出CD、OD，設(shè)點(diǎn)P（m，n），表示出PE、CE，然后分①OD與CE是對(duì)應(yīng)邊，②OD與EP是對(duì)應(yīng)邊，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出m、n的關(guān)系式，再根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上，組成方程組求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，0）、B（6，-6）和原點(diǎn)O，
∴

25a+5b+c=0 36a+6b+c=-6 c=0

，
解得

a=-1 b=5 c=0

，
故，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+5x；

（2）∵C（2，y）在拋物線上，
∴-2²+5×2=y，
解得y=6，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），
∵B、C在直線y=mx+n上，
∴

6m+n=-6 2m+n=6

，
解得

m=-3 n=12

，
∴直線BC的解析式為y=-3x+12，
設(shè)BC與x軸交于點(diǎn)G，則-3x+12=0，
解得x=4，
所以，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4，0），
S_△OBC=S_△OBG+S_△OCG，
=

1

2

×4×|-6|+

1

2

×4×6=12+12=24；

（3）存在P，使得△OCD∽△CPE．
理由如下：設(shè)P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°，
∴PE=6-n，CE=m-2，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），
∴CD=2，OD=6，
①OD與CE是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△OCD∽△CPE，
∴

OD

CE

=

CD

PE

，
即

6

m-2

=

2

6-n

，
解得，m=20-3n，
∵（m，n）在拋物線上，
∴

m=20-3n n=-m2+5m

，
解得

m1= 10 3 n1= 50 9

，

m2=2 n2=6

（為點(diǎn)C坐標(biāo)），
所以，點(diǎn)P（

10

3

，

50

9

）；
②OD與EP是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△OCD∽△PCE，
∴

OD

PE

=

CD

CE

，
即

6

6-n

=

2

m-2

，
解得，n=12-3m，
∵（m，n）在拋物線上，
∴

n=12-3m n=-m2+5m

，
解得

m1=2 n1=6

（為點(diǎn)C坐標(biāo)），

m2=6 n2=-6

，
所以，點(diǎn)P（6，-6），
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為(

10

3

，

50

9

)和（6，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式，直線解析式），求三角形的面積，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（2）把△OBC分成兩個(gè)三角形求面積比較簡(jiǎn)單，（3）要根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的不同分情況討論求解．