【題目】如圖,△ABC中,點O是邊AC上一個動點,過O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F.
(1)探究:線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明;
(2)當(dāng)點O在邊AC上運動時,四邊形BCFE會是菱形嗎?若是,請證明;若不是,則說明理由;
(3)當(dāng)點O運動到何處,且△ABC滿足什么條件時,四邊形AECF是正方形?
【答案】(1)OE=OF.(2)四邊形BCFE不可能是菱形(3)當(dāng)點O為AC中點且△ABC是以∠ACB為直角三角形時,四邊形AECF是正方形.
【解析】
試題分析:(1)利用平行線的性質(zhì)由角相等得出邊相等;
(2)假設(shè)四邊形BCFE,再證明與在同一平面內(nèi)過同一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾;
(3)利用平行四邊形及等腰直角三角形的性質(zhì)證明四邊形AECF是正方形.
解:(1)OE=OF.
證明如下:
∵CE是∠ACB的平分線,
∴∠1=∠2.
∵MN∥BC,
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OE=OC.
同理可證OC=OF.
∴OE=OF.(3分)
(2)四邊形BCFE不可能是菱形,若四邊形BCFE為菱形,則BF⊥EC,
而由(1)可知FC⊥EC,在平面內(nèi)過同一點F不可能有兩條直線同垂直于一條直線.(3分)
(3)當(dāng)點O運動到AC中點時,且△ABC是直角三角形(∠ACB=90°)時,四邊形AECF是正方形.
理由如下:
∵O為AC中點,
∴OA=OC,
∵由(1)知OE=OF,
∴四邊形AECF為平行四邊形;
∵∠1=∠2,∠4=∠5,∠1+∠2+∠4+∠5=180°,
∴∠2+∠5=90°,即∠ECF=90°,
∴AECF為矩形,
又∵AC⊥EF.
∴AECF是正方形.
∴當(dāng)點O為AC中點且△ABC是以∠ACB為直角三角形時,四邊形AECF是正方形.(3分)
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【題目】下面的多項式在實數(shù)范圍內(nèi)能因式分解的是( )
A.x2+y2 B.x2﹣y C.x2+x+1 D.x2﹣2x+1
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【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,AB=10,過點A的直線交半圓于點C,且AC=6,連結(jié)BC,點D為BC的中點.已知點E在直線AC上,△CDE與△ACB相似,則線段AE的長為 3或 .
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【題目】關(guān)于拋物線y=(x-1) +2,下列結(jié)論中不正確是 ( )
A. 對稱軸為直線x=1 B. 當(dāng)x<1時,y隨x的增大而減小
C. 與x軸沒有交點 D. 與y軸交于點(0,2)
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【題目】如果m是任意實數(shù),則點P (m-4,m-1)一定不在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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【題目】鉛筆每支售價0.20元,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)表示小明買1支到10支鉛筆需要花費的錢數(shù)的圖像是( )
A. 一條直線 B. 一條射線 C. 一條線段 D. 10個不同的點
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【題目】時代超市出售的三種品牌月餅袋上,分別標(biāo)有質(zhì)量為:(500±5)g、(500±10)g、(500±20)g的字樣,從中任意拿出兩袋,它們的質(zhì)量最多相差( )
A.10g
B.20g
C.30g
D.40g
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【題目】一輛汽車在筆直的公路上行駛,兩次拐彎后,仍在原來的方向上平行前進(jìn),那么這兩次拐彎的角度是( )
A. 第一次向右拐40, 第二次向左拐140
B. 第一次向左拐40, 第二次向右拐40
C. 第一次向左拐40, 第二次向左拐140
D. 第一次向右拐40, 第二次向右拐40°
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【題目】2013年1月1日新交通法規(guī)開始實施.為了解某社區(qū)居民遵守交通法規(guī)情況,小明隨機(jī)選取部分居民就“行人闖紅燈現(xiàn)象”進(jìn)行問卷調(diào)查,調(diào)查分為“A:從不闖紅燈;B:偶爾闖紅燈;C:經(jīng)常闖紅燈;D:其他”四種情況,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出部分條形統(tǒng)計圖(如圖1)和部分扇形統(tǒng)計圖(如圖2).請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查共選取名居民;
(2)求出扇形統(tǒng)計圖中“C”所對扇形的圓心角的度數(shù),并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)如果該社區(qū)共有居民1600人,估計有多少人從不闖紅燈?
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