Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動點（A、B兩點除外），將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CEF，其中點E是點A的對應(yīng)點，點F是點D的對應(yīng)點．

（1）如圖1，當(dāng)α=90°時，G是邊AB上一點，且BG=AD，連接GF．求證：GF∥AC；
（2）如圖2，當(dāng)90°≤α≤180°時，AE與DF相交于點M．
①當(dāng)點M與點C、D不重合時，連接CM，求∠CMD的度數(shù)；
②設(shè)D為邊AB的中點，當(dāng)α從90°變化到180°時，求點M運動的路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中

，

∵CA=CB，∠ACB=90°，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵△CEF是由△CAD旋轉(zhuǎn)逆時針α得到，α=90°，

∴CB與CE重合，

∴∠CBE=∠A=45°，

∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，

∵BG=AD=BF，

∴∠BGF=∠BFG=45°，

∴∠A=∠BGF=45°，

∴GF∥AC．

（2）

解：①如圖2中

，

∵CA=CE，CD=CF，

∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，

∵∠ACD=∠ECF，

∴∠ACE=∠CDF，

∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，

∴∠CAE=∠CDF，

∴A、D、M、C四點共圓，

∴∠CMF=∠CAD=45°，

∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．

②如圖3中

，

O是AC中點，連接OD、CM．

∵AD=DB，CA=CB，

∴CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

由①可知A、D、M、C四點共圓，

∴當(dāng)α從90°變化到180°時，

點M在以AC為直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD，

∵OA=OC，CD=DA，

∴DO⊥AC，

∴∠DOC=90°，

∴ 的長= ．

∴當(dāng)α從90°變化到180°時，點M運動的路徑長為 ．

【解析】（1）欲證明GF∥AC，只要證明∠A=∠FGB即可解決問題．（2）①先證明A、D、M、C四點共圓，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解決問題．②利用①的結(jié)論可知，點M在以AC為直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD，利用弧長公式即可解決問題．本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、弧長公式、四點共圓等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)A、D、M、C四點共圓，最后一個問題的關(guān)鍵，正確探究出點M的運動路徑，記住弧長公式，屬于中考壓軸題．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．