Question

已知關(guān)于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

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）=0．
（1）求證：無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有實(shí)根．
（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a=4，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩根，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：方程化為一般形式為：x²-（2k+1）x+4k-2=0，
∵△=（2k+1）²-4（4k-2）=（2k-3）²，
而（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
所以無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）x²-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x₁=2，x₂=2k-1，
當(dāng)a=4為等腰△ABC的底邊，則有b=c，
因?yàn)閎、c恰是這個(gè)方程的兩根，則2=2k-1，
解得k=

3

2

，則三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，2，4，
∵2+2=4，這不滿(mǎn)足三角形三邊的關(guān)系，舍去；
當(dāng)a=4為等腰△ABC的腰，
因?yàn)閎、c恰是這個(gè)方程的兩根，所以只能2k-1=4，
則三角形三邊長(zhǎng)分別為：2，4，4，
此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為2+4+4=10．
所以△ABC的周長(zhǎng)為10．