Question

【題目】點M為二次函數y＝﹣x2+2bx+1+4b﹣b2圖象的頂點，直線y＝mx+5分別交x軸正半軸，y軸于點A，B．

（1）判斷頂點M是否恒在某條直線上？若是，求出該直線解析式；若不是，說明理由．

（2）若二次函數圖象也經過點A，B，且mx+5＞﹣x2+2bx+2+4b﹣b2，借助圖象，求出x的取值范圍．

（3）點A坐標為（5，0），點M在△AOB內時，若點C（，y1），D（，y2）都在二次函數圖象上，試比較y1與y2的大小．

Answer 1

【答案】（1）點M在直線y＝4x+1上．（2）x的取值范圍是x＜0或x＞5．（3）①當0＜b＜時，y1＞y2，②當b＝時，y1＝y2，③當＜b＜時，y1＜y2．

【解析】

（1）根據頂點式，可求頂點M的坐標，用設元消參的方法求解析式即可；

（2）根據待定系數法，可求得二次函數的解析式，根據函數圖象與不等式的關系，圖象在下方的函數值小，即可得到答案；

（3）根據解方程組，可得頂點M的縱坐標的范圍，根據二次函數的性質，可得答案．

（1）y＝﹣x2+2bx+1+4b﹣b2＝﹣（x﹣b）2+4b+1，

∵M為二次函數的頂點，

∴M（b，4b+1），

設x＝b，y＝4b+1，

則y＝4x+1，

∴點M在直線y＝4x+1上．

（2）如圖1所示，

直線y＝mx+5交y軸于點B，

∴B（0，5），

又∵點B在拋物線上，

∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，

∴二次函數解析式為y＝﹣（x﹣2）2+9，

當y＝0時，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴A（5，0），

由圖象得當mx+5＞﹣x2+2bx+1+4b﹣b2時，x的取值范圍是x＜0或x＞5．

（3）如圖2所示，

∵直線y＝4x+1與直線AB交于點E，與y軸交于點F，

A（5，0），B（0，5），

可得直線AB的解析式為y＝﹣x+5，

則有，

解得，

∴E（，），

∵點M在△AOB內，

∴1＜4b+1＜，

∴0＜b＜．

當點C、D關于拋物線的對稱軸對稱時，

b﹣＝﹣b，解得b＝，

∵二次函數的開口方向向下，頂點M在直線y＝4x+1上，

綜上：①當0＜b＜時，y1＞y2，

②當b＝時，y1＝y2，

③當＜b＜時，y1＜y2．