【題目】【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1,點E,F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,通過證明△AEF≌△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD.
(1)【類比引申】如圖2,點E,F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊CB,CD的延長線上,∠EAF=45°,連接EF,請根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)【聯(lián)想拓展】如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長.
【答案】
(1)解:DF=EF+BE.
理由:如圖1所示, ∵AB=AD,
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,
∵∠ADC=∠ABE=90°,
∴點C、D、G在一條直線上,
∴EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD,
∵∠BAG+∠GAD=90°,
∴∠EAG=∠BAD=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣45°=45°,
∴∠EAF=∠GAF,
在△EAF和△GAF中,
,
∴△EAF≌△GAF,
∴EF=FG,
∵FD=FG+DG,
∴DF=EF+BE
(2)解:∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ACG,連接FG,如圖2,
∴AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,∠EAG=90°,
∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,
∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2;
又∵∠EAF=45°,
而∠EAG=90°,
∴∠GAF=90°﹣45°,
在△AGF與△AEF中,
,
∴△AEF≌△AGF,
∴EF=FG,
∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16,
∴CF=4.
【解析】(1)首先把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG,然后再證明△AFE≌△AFG,依據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得到EF=FG,接下來,由FD=FG+DG可得到DF=EF+BE;
(2)首先將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ACG,連接FG,然后依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,∠EAG=90°,∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,接下來,再依據(jù)勾股定理可證明FG2=FC2+CG2=BE2+FC2,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=EF,最后,再利用勾股定理可求得CF的長.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圖形的旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識,掌握每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度,任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.旋轉(zhuǎn)的方向、角度、旋轉(zhuǎn)中心是它的三要素.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果點P(2x+6,x-4)在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi),那么x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=10,∠C=30°點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動,當(dāng)其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t秒(t>0),過點D作DF⊥BC于點F,連接DE、EF.
(1)DF= ;(用含t的代數(shù)式表示)
(2)求證:△AED≌△FDE;
(3)當(dāng)t為何值時,△DEF是等邊三角形?說明理由;
(4)當(dāng)t為何值時,△DEF為直角三角形?(請直接寫出t的值.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校獎勵給王偉和李麗上海世博園門票共兩張,其中一張為指定日門票,另一張為普通日門票.班長由王偉和李麗分別轉(zhuǎn)動下圖的甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤(轉(zhuǎn)盤甲被二等分、轉(zhuǎn)盤乙被三等分)確定指定日門票的歸屬,在兩個轉(zhuǎn)盤都停止轉(zhuǎn)動后,若指針?biāo)傅膬蓚數(shù)字之和為偶數(shù),則王偉獲得指定日門票;若指針?biāo)傅膬蓚數(shù)字之和為奇數(shù),則李麗獲得指定日門票;若指針指向分隔線,則重新轉(zhuǎn)動.你認為這個方法公平嗎?請畫樹狀圖或列表,并說明理由.
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【題目】函數(shù)y=x+x﹣1的圖象如圖所示,下列對該函數(shù)性質(zhì)的論斷不可能正確的是( )
A.該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形
B.當(dāng)x>0時,該函數(shù)在x=1時取得最小值2
C.在每個象限內(nèi),y的值隨x值的增大而減小
D.y的值不可能為1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A是線段DE上一點,∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE.
(1)求證:DE=BD+CE.
(2)如果是如圖2這個圖形,BD、CE、DE有什么數(shù)量關(guān)系?并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線與直線交于點,.小明將一個含的直角三角板如圖1所示放置,使頂點落在直線上,過點作直線交直線于點(點在左側(cè)).
(1)若,,則__________.
(2)若的角平分線交直線于點,如圖2.
①當(dāng),時,求證:.
②小明將三角板保持并向左平移,運動過程中,__________.(用表示).
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【題目】《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.其中記載了一個“折竹抵地”問題:“今有竹高二丈,末折抵地,去本六尺,問折者高幾何?”
譯文:“有一根竹子,原高二丈(1丈=10尺),現(xiàn)被風(fēng)折斷,竹梢觸地面處與竹根的距離為6尺,問折斷處離地面的高度為多少尺?”
如圖,我們用點A,B,C分別表示竹梢,竹根和折斷處,設(shè)折斷處離地面的高度BC=x尺,則可列方程為_____.
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