Question

已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE，AE=10．在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE²=AC•AP？若存在，請說明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點(diǎn)，首先證明四邊形AFCE是菱形，然后根據(jù)題干條件證明△AOE∽△AEP，列出關(guān)系式．

解答：證明：過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點(diǎn)．
當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF
∴四邊形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
由作法得∠AEP=90°，
∴△AOE∽△AEP，
∴

AE

AP

=

AO

AE

，則AE²=A0•AP，
∵四邊形AFCE是菱形，
∴AO=

1

2

AC，
∴AE²=

1

2

AC•AP，
∴2AE²=AC•AP．

點(diǎn)評：本題主要考查翻折變換的折疊問題，還涉及到的知識點(diǎn)有全等三角形的判定與性質(zhì)．