【題目】尤秀同學遇到了這樣一個問題:如圖1所示,已知AF,BE是△ABC的中線,且AF⊥BE,垂足為P,設BC=a,AC=b,AB=c.

求證:

該同學仔細分析后,得到如下解題思路:

先連接EF,利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA,故,設PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分別表示出來,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理計算,消去m,n即可得證.

(1)請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學寫出證明過程.

(2)利用題中的結(jié)論,解答下列問題:

在邊長為3的菱形ABCD中,O為對角線AC,BD的交點,E,F(xiàn)分別為線段AO,DO的中點,連接BE,CF并延長交于點M,BM,CM分別交AD于點G,H,如圖2所示,求的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)5

【解析】

試題分析:(1)設PF=m,PE=n,連結(jié)EF,如圖1,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得EF∥AB,EF=c,則可判斷△EFP∽△BPA,利用相似比得到PB=2n,PA=2m,接著根據(jù)勾股定理得到,,則,而,所以;

(2)利用(1)的結(jié)論得==45,再利用△AEG∽△CEB可計算出AG=1,同理可得DH=1,則GH=1,然后利用GH∥BC,根據(jù)平行線分線段長比例定理得到MB=3GM,MC=3MH,然后等量代換后可得=5.

試題解析:(1)設PF=m,PE=n,連結(jié)EF,如圖1,∵AF,BE是△ABC的中線,∴EF為△ABC的中位線,AE=b,BF=a,∴EF∥AB,EF=c,∴△EFP∽△BPA,∴,即=,∴PB=2n,PA=2m,在Rt△AEP中,∵,∴①,在Rt△AEP中,∵,∴②,①+②得,在Rt△EFP中,∵,∴,∴,∴

(2)∵四邊形ABCD為菱形,∴BD⊥AC,∵E,F(xiàn)分別為線段AO,DO的中點,由(1)的結(jié)論得==45,∵AG∥BC,∴△AEG∽△CEB,∴,∴AG=1,同理可得DH=1,∴GH=1,∴GH∥BC,∴,∴MB=3GM,MC=3MH,∴,∴=5.

練習冊系列答案
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閱讀時間(小時)

2

2.5

3

3.5

4

學生人數(shù)(名)

1

2

8

6

3

則關于這20名學生閱讀小時的眾數(shù)是_____

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